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Applications of Mathematics
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Chapter
Martingale continue
In questo capitolo estendiamo dal discreto al continuo alcuni importanti risultati come il teorema di optional sampling e le disuguaglianze massimali di Doob per le martingale. La strategia generale consiste d...
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Chapter
Equazioni differenziali stocastiche
A partire da questo capitolo iniziamo lo studio delle equazioni differenziali stocastiche, nel seguito abbreviate in SDE dalla locuzione anglosassone ‘‘stochastic differential equations’’. Come anticipato nell...
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Chapter
Equazioni stocastiche lineari
In questo capitolo consideriamo equazioni stocastiche della forma
16.0.1 $$\displaystyle dX_{t}=(BX_{t}+b)dt+{\sigma}dW_{t}$$ ... -
Chapter
Introduzione alle PDE paraboliche
In questo capitolo presentiamo in maniera per quanto possibile sintetica alcuni risultati di base sull’esistenza e unicità delle soluzioni del problema di Cauchy per equazioni differenziali alle derivate parzi...
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Chapter
Soluzioni deboli
In questo capitolo forniamo risultati di risolubilità e unicità debole per SDE con coefficienti
18.0.1 $$\displaystyle\begin{a... -
Chapter
Processi stocastici
Le variabili aleatorie descrivono lo stato di un fenomeno aleatorio, per esempio una posizione non osservabile con certezza di una particella in un modello della fisica o il prezzo in una data futura di un titolo...
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Chapter
Processi continui
La nozione di continuità per processi stocastici, benché intuitiva, nasconde qualche piccola insidia e va pertanto analizzata con attenzione. Nel seguito assumiamo che
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Chapter
Processo di Poisson
Il processo di Poisson, che indicheremo \((N_{t})_{t\geq 0}\) ( ...
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Chapter
Formula di Itô
La formula di Itô è lo strumento più importante del calcolo differenziale stocastico. In questo capitolo ne presentiamo diverse versioni che forniscono le regole generali del calcolo stocastico e generalizzano...
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Chapter
Proprietà di Markov forte
In questo capitolo \(X=(X_{t})_{t\geq 0}\) X = ...
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Chapter
Cambi di misura e rappresentazione di martingale
In questo capitolo presentiamo due risultati classici:
il Teorema 13.3.3 di Girsanov che afferma che il processo ottenuto aggiungendo un drift ad un moto Browniano, è ancora un ...
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Chapter
Teoria della variazione
In questo capitolo facciamo alcuni richiami di teoria dell’integrazione deterministica secondo Riemann-Stieltjes e Lebesgue-Stieltjes. Purtroppo le traiettorie di un moto Browniano (e, in generale, delle marti...
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Chapter
Formule di Feynman-Kac
Consideriamo la SDE
15.0.1 $$\displaystyle dX_{t}=b(t,X_{t})dt+{\sigma}(t,X_{t})dW_{t}.$$ ... -
Chapter
Soluzioni forti
In questo capitolo presentiamo i risultati classici di risolubilità ed unicità in senso forte per SDE. Assumiamo le notazioni generali del Capitolo 14 e consideriamo la SDE
17.0.1 ... -
Chapter
Complementi
In questo capitolo indichiamo in maniera informale e succinta alcuni esempi fra le numerosissime direzioni in cui si è sviluppata la teoria delle equazioni differenziali stocastiche. In fondo a ogni sezione fo...
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Chapter
Processi di Markov
In questo capitolo introduciamo una classe fondamentale di processi stocastici, caratterizzati da una proprietà di ‘‘assenza di memoria’’ che li rende particolarmente maneggevoli e utili nelle applicazioni. Qu...
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Chapter
Moto Browniano
Il moto Browniano è in assoluto il processo stocastico più importante. Deve il nome al botanico Robert Brown per le sue osservazioni, attorno al 1820, sul movimento casuale di granelli di polline in sospension...
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Chapter
Integrazione stocastica secondo Itô
In questo capitolo costruiamo l’integrale stocastico $$\begin{gathered}\displaystyle X_{t}:=\int_{0}^{t}u_{s}dB_{s},\qquad t\geq 0,\end{gather...
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Chapter
Tempi d’arresto
I tempi d’arresto sono uno strumento fondamentale nello studio dei processi stocastici: si tratta di particolari tempi aleatori che soddisfano una proprietà di coerenza rispetto all’assegnata filtrazione delle...
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Chapter
Calcolo stocastico multidimensionale
In questo capitolo estendiamo al caso multidimensionale le definizioni e i risultati dei capitoli precedenti. Non introduciamo concetti realmente nuovi; tuttavia alcuni risultati, come per esempio la formula d...
