Abstract
In questo capitolo presentiamo due risultati classici:
-
il Teorema 13.3.3 di Girsanov che afferma che il processo ottenuto aggiungendo un drift ad un moto Browniano, è ancora un moto Browniano sotto una nuova misura di probabilità;
-
il Teorema 13.5.1 di rappresentazione delle martingale in base al quale ogni martingala locale relativa alla filtrazione Browniana ammette una rappresentazione in termini di integrale stocastico e di conseguenza ha una modificazione continua.
Questi risultati possono essere combinati per esaminare l’effetto di un cambio di misura di probabilità sull’espressione del drift di un processo di Itô. Nella trattazione di questi problemi un ruolo centrale è giocato dalle martingale esponenziali.
It has been suggested that an army of monkeys might be trained to pound typewriters at random in the hope that ultimately great works of literature would be produced. Using a coin for the same purpose may save feeding and training expenses and free the monkeys for other monkey business.
William Feller
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Notes
- 1.
La filtrazione ottenuta completando la filtrazione generata da \(W\) in modo che verifichi le ipotesi usuali.
- 2.
Se \({\sigma}=0\), la (13.1.9) si riduce ad un’equazione differenziale ordinaria
$$\begin{gathered}\displaystyle dS_{t}={\mu}S_{t}dt\end{gathered}$$con soluzione deterministica \(S_{t}=S_{0}e^{{\mu}t}\): quest’ultima è una cosiddetta formula di capitalizzazione composta con tasso d’interesse \({\mu}\).
- 3.
Il tasso d’interesse pagato dal conto in banca che è assunto come investimento non rischioso di riferimento.
- 4.
\(W^{\lambda}_{t}=W_{t}+\lambda t\) è un moto Browniano reale nella misura \(Q\).
- 5.
Il fattore di sconto \(e^{-rt}\) elimina il ‘‘valore del tempo’’ ossia attualizza i prezzi.
- 6.
Al contrario, nella misura reale \(P\), essendo \({\mu}> r\) il prezzo scontato è una sub-martingala: ciò descrive l’attesa di un rendimento maggiore rispetto al conto in banca, a fronte della rischiosità del titolo.
- 7.
Quindi, più esplicitamente,
$$\begin{gathered}\displaystyle Y_{t}=\sum_{j=1}^{d}\int_{0}^{t}\lambda^{j}_{s}dW^{j}_{s}.\end{gathered}$$Osserviamo che \(M^{\lambda}_{t}=\exp\left(-Y_{t}-\frac{1}{2}\langle Y\rangle_{t}\right)\).
- 8.
La filtrazione standard \(\mathcal{F}^{W}\) è ottenuta completando la filtrazione \(\mathcal{G}^{W}\) generata da \(W\), secondo il Teorema 6.2.23.
- 9.
Il fatto che \(M^{\lambda}\) sia soluzione è una semplice verifica con la formula di Itô. Per l’unicità, non è difficile adattare la prova del Teorema 17.1.1 che dimostreremo in seguito.
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Pascucci, A. (2024). Cambi di misura e rappresentazione di martingale. In: Teoria della Probabilità. UNITEXT(), vol 156. Springer, Milano. https://doi.org/10.1007/978-88-470-4028-1_13
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Publisher Name: Springer, Milano
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