Soluzioni forti

Abstract

In questo capitolo presentiamo i risultati classici di risolubilità ed unicità in senso forte per SDE. Assumiamo le notazioni generali del Capitolo 14 e consideriamo la SDE

$$\displaystyle dX_{t}=b(t,X_{t})dt+{\sigma}(t,X_{t})dW_{t}$$

(17.0.1)

dove $W$ è un moto Browniano $d$-dimensionale e i coefficienti

$$\begin{aligned}\displaystyle b=b(t,x):\mathopen{]}t_{0},T\mathclose{[}\times{\mathbb{R}}^{N}\longrightarrow{\mathbb{R}}^{N},\qquad{\sigma}={\sigma}(t,x):\mathopen{]}t_{0},T\mathclose{[}\times{\mathbb{R}}^{N}\longrightarrow{\mathbb{R}}^{N\times d},\end{aligned}$$

verificano le ipotesi standard della Definizione 14.4.1 di regolarità (Lipschitzianità locale) e crescita lineare. Qui $N,d\in{\mathbb{N}}$ e $0\leq t_{0}<T$ sono fissati. Proviamo i seguenti teoremi:

• il Teorema 17.1.1 di unicità in senso forte;

• il Teorema 17.2.1 sulla risolubilità in senso forte e la proprietà di flusso;

• il Teorema 17.3.1 sulla proprietà di Markov;

• il Teorema 17.4.1 e il Corollario 17.4.2 sulle stime di dipendenza dal dato iniziale, regolarità delle traiettorie, proprietà di Feller e di Markov forte.

Trascorro molte ore a gironzolare per le vie di Palermo, bevendo caffè nero forte e chiedendomi che cos’ho che non va. Ce l’ho fatta – sono il tennista numero uno al mondo, eppure mi sento vuoto.

Andre Agassi [1]