Newton polygons of Hecke operators

Abstract

In this computational paper we verify a truncated version of the Buzzard–Calegari conjecture on the Newton polygon of the Hecke operator $T_2$ for all large enough weights. We first develop a formula for computing p-adic valuations of exponential sums, which we then implement to compute 2-adic valuations of traces of Hecke operators acting on spaces of cusp forms. Finally, we verify that if Newton polygon of the Buzzard–Calegari polynomial has a vertex at $n\le 15$, then it agrees with the Newton polygon of $T_2$ up to n.

Résumé

Dans cet article, nous vérifions une version tronquée de la conjecture de Buzzard–Calegari concernant le polygone de Newton de l’opérateur Hecke $T_2$ pour tous les poids suffisamment grands. Nous développons d’abord une formule pour les valuations p-adiques de sommes exponentielles, que nous utilisons ensuite pour calculer les valuations 2-adiques des traces d’opérateurs de Hecke agissant sur des espaces de formes cuspidales. Enfin, nous vérifions que si le polygone de Newton du polynôme de Buzzard–Calegari a un sommet en $n\le 15$, alors il coïncide avec le polygone de Newton de $T_2$ jusqu’à n.

Appendix: 2-adic valuations of the traces of \(T_2\)

In the following table, for each $n\le 5$ we make explicit the terms that appear in $v_2({\text {Tr}}(\wedge ^n T_p|S_{2k}))$ from Theorem 12, and those defining the sequence $a_n$ from Eq. (3) in Sect. 5. The 2-adic numbers $\Omega _i$ are given modulo $2^{50}$.

The complete table for all $n\le 15$ is available online [7].

n	$v_2(k-\Omega _i)$ or $\min (n_j, 2 v_2(k-u_j))$ in $v_2({\text {Tr}}(\wedge ^n T_2|S_{2k}))$	$v_2(k-\ell )$ in $a_n$	$v_2(\Omega _i-\ell )$ or $v_2(u_j-\ell )$
1	$v_2(k- 442980431217671)$	$v_2(k-7)$	10
2	$v_2(k-791247700865546)$	$v_2(k-10)$	9
	$v_2(k-31828396041227)$	$v_2(k-11)$	10
	$v_2(k-335062469580877)$	$v_2(k-13)$	6
3	$v_2(k-48255093739981)$	$v_2(k-13)$	6
	$v_2(k-895017375933454)$	$v_2(k-14)$	10
	$v_2(k-16843008520207)$	$v_2(k-15)$	12
	$v_2(k-250702637217616)$	$v_2(k-16)$	6
	$v_2(k-46624142875857)$	$v_2(k-17)$	6
	$v_2(k-474794944364563)$	$v_2(k-19)$	28
4	$v_2(k-798532487856848)$	$v_2(k-16)$	6
	$v_2(k-658899949170001)$	$v_2(k-17)$	6
	$v_2(k-568752135614482)$	$v_2(k-18)$	12
	$\min (15, 2 \cdot v_2(k - 19))$	$2\cdot v_2(k-19)$	$\infty$
	$v_2(k-1103383114654676)$	$v_2(k-20)$	6
	$v_2(k-60661288646421)$	$v_2(k-21)$	8
	$v_2(k-1080512839942166)$	$v_2(k-22)$	31
	$v_2(k-339362545926167)$	$v_2(k-23)$	33
	$v_2(k-824086375843865)$	$v_2(k-25)$	11
5	$v_2(k-912948839579667)$	$v_2(k-19)$	19
	$v_2(k-929666093061716)$	$v_2(k-20)$	6
	$v_2(k-1090275108829461)$	$v_2(k-21)$	8
	$\min (15, 2 \cdot v_2(k - 22))$	$2\cdot v_2(k-22)$	$\infty$
	$\min (16, 2 \cdot v_2(k - 151))$	$2\cdot v_2(k-23)$	7
	$v_2(k-215022683507480)$	$v_2(k-24)$	8
	$v_2(k-188349340154137)$	$v_2(k-25)$	8
	$v_2(k-25411498307609)$	$v_2(k-25)$	12
	$v_2(k-255292856074266)$	$v_2(k-26)$	36
	$v_2(k-893284478091291)$	$v_2(k-27)$	36
	$v_2(k-378319707637788)$	$v_2(k-28)$	11
	$v_2(k-436532622338077)$	$v_2(k-29)$	11
	$v_2(k-669602715533343)$	$v_2(k-31)$	27