The Optimum Enhanced Base Isolators Applied to MDOF Systems: Exact Closed-Form Expressions

Abstract

Purpose

The dynamic response reduction capacities of conventional base isolators applied to multi degrees of freedom systems can be increased by adding inerters and resonators inside their core materials. The drawbacks/limitations of conventional base isolators can also be overcome using inerters and resonators. However, the existing literature lacks application of inerter base isolators, grounded resonating base isolators, and ungrounded resonating base isolators for multiple degrees-of-freedom (MDOF) systems to control dynamic responses. Additionally, exact-closed form expressions for optimal design parameters for these novel isolators applied in the MDOF system do not exist. Accordingly, two research gaps are found. Therefore, to address the research gaps, the inerter base isolators (IBI), grounded resonating base isolators (GRBI), and ungrounded resonating base isolators (URBI) are introduced in this paper to mitigate the dynamic responses of the multi degrees of freedom systems (MDOF).

Methods

The mathematical closed-form solutions for optimal design parameters for IBI, GRBI, and URBI for MDOF systems are derived using the $H_2$ optimization technique. The dynamic responses of the uncontrolled and controlled MDOF systems are derived using transfer matrix formation. The dynamic response reduction capacities of the optimum novel isolators are compared with the dynamic response reduction capacities of the conventional base isolators (BI).

Results

From the parametric study, it has been found that higher isolator and inerter mass ratios are recommended for optimum IBI, whereas higher isolator and moderate resonator mass ratios are recommended for optimum GRBI. In addition, for optimum URBI, a higher isolator mass ratio is recommended. The dynamic response reduction capacities of optimum IBI, GRBI, and URBI are 93%, 95.34%, and 92.93%, greater than the optimum BI for five degrees of freedom systems. In contrast, the dynamic response reduction capacities of optimum IBI, GRBI, and URBI are 96.69%, 98%, and 96.59%, greater than the optimum BI for ten degrees of freedom systems.

Conclusions

The study suggests that higher isolator and inerter mass ratios are recommended for optimal IBI, while higher isolator and moderate resonator mass ratios are recommended for GRBI. For URBI, a higher isolator mass ratio is also recommended. The dynamic response reduction capacities of optimum IBI, GRBI, and URBI are 93%, 95.34%, and 92.93% higher than the optimum BI for five degrees of freedom systems, and 96.69%, 98%, and 96.59% higher than the optimum BI for ten degrees of freedom systems.

Appendix A. Closed-Form Expressions from Eq. (26) and Eq. (28)

$$\begin{aligned} \begin{aligned} H_{1}=S_{{0}}\pi \,\left( \begin{array}{ll} 220\,{\zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b}}}^{12}{\omega _{{r} }}^{22}{\omega _{{s}}}^{2}+2200\,{\zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b}}}^{11}\mu _{ {d}}{\omega _{{d}}}^{2}{\omega _{{r}}}^{20}{\omega _{{s}}}^{2}\\ -3960\,{ \zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b}}}^{11}\mu _{{d}}{\omega _{{r}}}^{20}{\omega _{{ s}}}^{4}+9900\,{\zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b}}}^{10}{\mu _{{d}}}^{2}{\omega _{{d}}}^{4}{\omega _{{r}}}^{18}{\omega _{{s}}}^{2}\\ -35640\,{\zeta _{{r}}}^ {2}{\mu _{{b}}}^{10}{\mu _{{d}}}^{2}{\omega _{{d}}}^{2}{\omega _{{r}}}^{18 }{\omega _{{s}}}^{4}+30140\,{\zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b}}}^{10}{\mu _{{d}} }^{2}{\omega _{{r}}}^{18}{\omega _{{s}}}^{6}\\ +26400\,{\zeta _{{r}}}^{2}{ \mu _{{b}}}^{9}{\mu _{{d}}}^{3}{\omega _{{d}}}^{6}{\omega _{{r}}}^{16}{ \omega _{{s}}}^{2}-142560\,{\zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b}}}^{9}{\mu _{{d}}}^ {3}{\omega _{{d}}}^{4}{\omega _{{r}}}^{16}{\omega _{{s}}}^{4}\\ +241120\,{ \zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b}}}^{9}{\mu _{{d}}}^{3}{\omega _{{d}}}^{2}{ \omega _{{r}}}^{16}{\omega _{{s}}}^{6}-126280\,{\zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b }}}^{9}{\mu _{{d}}}^{3}{\omega _{{r}}}^{16}{\omega _{{s}}}^{8}\\ +46200\,{ \zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b}}}^{8}{\mu _{{d}}}^{4}{\omega _{{d}}}^{8}{ \omega _{{r}}}^{14}{\omega _{{s}}}^{2}-332640\,{\zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b }}}^{8}{\mu _{{d}}}^{4}{\omega _{{d}}}^{6}{\omega _{{r}}}^{14}{\omega _{{s }}}^{4}\\ +843920\,{\zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b}}}^{8}{\mu _{{d}}}^{4}{\omega _{{d}}}^{4}{\omega _{{r}}}^{14}{\omega _{{s}}}^{6}-883960\,{\zeta _{{r}}} ^{2}{\mu _{{b}}}^{8}{\mu _{{d}}}^{4}{\omega _{{d}}}^{2}{\omega _{{r}}}^{14 }{\omega _{{s}}}^{8}\\ +317680\,{\zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b}}}^{8}{\mu _{{d}} }^{4}{\omega _{{r}}}^{14}{\omega _{{s}}}^{10}+55440\,{\zeta _{{r}}}^{2}{ \mu _{{b}}}^{7}{\mu _{{d}}}^{5}{\omega _{{d}}}^{10}{\omega _{{r}}}^{12}{ \omega _{{s}}}^{2}\\ -498960\,{\zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b}}}^{7}{\mu _{{d}}}^ {5}{\omega _{{d}}}^{8}{\omega _{{r}}}^{12}{\omega _{{s}}}^{4}+1687840\,{ \zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b}}}^{7}{\mu _{{d}}}^{5}{\omega _{{d}}}^{6}{ \omega _{{r}}}^{12}{\omega _{{s}}}^{6}\\ -2651880\,{\zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{ b}}}^{7}{\mu _{{d}}}^{5}{\omega _{{d}}}^{4}{\omega _{{r}}}^{12}{\omega _{{ s}}}^{8}+1906080\,{\zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b}}}^{7}{\mu _{{d}}}^{5}{ \omega _{{d}}}^{2}{\omega _{{r}}}^{12}{\omega _{{s}}}^{10}\\ -491040\,{\zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b}}}^{7}{\mu _{{d}}}^{5}{\omega _{{r}}}^{12}{\omega _{{ s}}}^{12}+46200\,{\zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b}}}^{6}{\mu _{{d}}}^{6}{ \omega _{{d}}}^{12}{\omega _{{r}}}^{10}{\omega _{{s}}}^{2}\\ -498960\,{\zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b}}}^{6}{\mu _{{d}}}^{6}{\omega _{{d}}}^{10}{\omega _{{ r}}}^{10}{\omega _{{s}}}^{4}+2109800\,{\zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b}}}^{6}{ \mu _{{d}}}^{6}{\omega _{{d}}}^{8}{\omega _{{r}}}^{10}{\omega _{{s}}}^{6}\\ - 4419800\,{\zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b}}}^{6}{\mu _{{d}}}^{6}{\omega _{{d}}} ^{6}{\omega _{{r}}}^{10}{\omega _{{s}}}^{8}+4765200\,{\zeta _{{r}}}^{2}{ \mu _{{b}}}^{6}{\mu _{{d}}}^{6}{\omega _{{d}}}^{4}{\omega _{{r}}}^{10}{ \omega _{{s}}}^{10}\\ -2455200\,{\zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b}}}^{6}{\mu _{{d}} }^{6}{\omega _{{d}}}^{2}{\omega _{{r}}}^{10}{\omega _{{s}}}^{12}+458260\, {\zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b}}}^{6}{\mu _{{d}}}^{6}{\omega _{{r}}}^{10}{ \omega _{{s}}}^{14}\\ +26400\,{\zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b}}}^{5}{\mu _{{d}}}^ {7}{\omega _{{d}}}^{14}{\omega _{{r}}}^{8}{\omega _{{s}}}^{2}-332640\,{ \zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b}}}^{5}{\mu _{{d}}}^{7}{\omega _{{d}}}^{12}{ \omega _{{r}}}^{8}{\omega _{{s}}}^{4}\\ +1687840\,{\zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b }}}^{5}{\mu _{{d}}}^{7}{\omega _{{d}}}^{10}{\omega _{{r}}}^{8}{\omega _{{s }}}^{6}-4419800\,{\zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b}}}^{5}{\mu _{{d}}}^{7}{ \omega _{{d}}}^{8}{\omega _{{r}}}^{8}{\omega _{{s}}}^{8}\\ +6353600\,{\zeta _ {{r}}}^{2}{\mu _{{b}}}^{5}{\mu _{{d}}}^{7}{\omega _{{d}}}^{6}{\omega _{{r} }}^{8}{\omega _{{s}}}^{10}-4910400\,{\zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b}}}^{5}{ \mu _{{d}}}^{7}{\omega _{{d}}}^{4}{\omega _{{r}}}^{8}{\omega _{{s}}}^{12}\\ + 1833040\,{\zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b}}}^{5}{\mu _{{d}}}^{7}{\omega _{{d}}} ^{2}{\omega _{{r}}}^{8}{\omega _{{s}}}^{14}-243320\,{\zeta _{{r}}}^{2}{ \mu _{{b}}}^{5}{\mu _{{d}}}^{7}{\omega _{{r}}}^{8}{\omega _{{s}}}^{16}\\ + 9900\,{\zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b}}}^{4}{\mu _{{d}}}^{8}{\omega _{{d}}}^{ 16}{\omega _{{r}}}^{6}{\omega _{{s}}}^{2}-142560\,{\zeta _{{r}}}^{2}{\mu _ {{b}}}^{4}{\mu _{{d}}}^{8}{\omega _{{d}}}^{14}{\omega _{{r}}}^{6}{\omega _ {{s}}}^{4}\\ +843920\,{\zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b}}}^{4}{\mu _{{d}}}^{8}{ \omega _{{d}}}^{12}{\omega _{{r}}}^{6}{\omega _{{s}}}^{6}-2651880\,{\zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b}}}^{4}{\mu _{{d}}}^{8}{\omega _{{d}}}^{10}{\omega _{{ r}}}^{6}{\omega _{{s}}}^{8}\\ +4765200\,{\zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b}}}^{4}{ \mu _{{d}}}^{8}{\omega _{{d}}}^{8}{\omega _{{r}}}^{6}{\omega _{{s}}}^{10}- 4910400\,{\zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b}}}^{4}{\mu _{{d}}}^{8}{\omega _{{d}}} ^{6}{\omega _{{r}}}^{6}{\omega _{{s}}}^{12}\\ +2749560\,{\zeta _{{r}}}^{2}{ \mu _{{b}}}^{4}{\mu _{{d}}}^{8}{\omega _{{d}}}^{4}{\omega _{{r}}}^{6}{ \omega _{{s}}}^{14}-729960\,{\zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b}}}^{4}{\mu _{{d}}} ^{8}{\omega _{{d}}}^{2}{\omega _{{r}}}^{6}{\omega _{{s}}}^{16}\\ +64900\,{ \zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b}}}^{4}{\mu _{{d}}}^{8}{\omega _{{r}}}^{6}{ \omega _{{s}}}^{18}+2200\,{\zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b}}}^{3}{\mu _{{d}}}^{ 9}{\omega _{{d}}}^{18}{\omega _{{r}}}^{4}{\omega _{{s}}}^{2}\\ -35640\,{ \zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b}}}^{3}{\mu _{{d}}}^{9}{\omega _{{d}}}^{16}{ \omega _{{r}}}^{4}{\omega _{{s}}}^{4}+241120\,{\zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b} }}^{3}{\mu _{{d}}}^{9}{\omega _{{d}}}^{14}{\omega _{{r}}}^{4}{\omega _{{s} }}^{6}\\ -883960\,{\zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b}}}^{3}{\mu _{{d}}}^{9}{\omega _ {{d}}}^{12}{\omega _{{r}}}^{4}{\omega _{{s}}}^{8}+1906080\,{\zeta _{{r}}} ^{2}{\mu _{{b}}}^{3}{\mu _{{d}}}^{9}{\omega _{{d}}}^{10}{\omega _{{r}}}^{4 }{\omega _{{s}}}^{10}\\ -2455200\,{\zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b}}}^{3}{\mu _{{d }}}^{9}{\omega _{{d}}}^{8}{\omega _{{r}}}^{4}{\omega _{{s}}}^{12}+1833040 \,{\zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b}}}^{3}{\mu _{{d}}}^{9}{\omega _{{d}}}^{6}{ \omega _{{r}}}^{4}{\omega _{{s}}}^{14}\\ -729960\,{\zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b }}}^{3}{\mu _{{d}}}^{9}{\omega _{{d}}}^{4}{\omega _{{r}}}^{4}{\omega _{{s} }}^{16}+129800\,{\zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b}}}^{3}{\mu _{{d}}}^{9}{\omega _{{d}}}^{2}{\omega _{{r}}}^{4}{\omega _{{s}}}^{18}\\ -6600\,{\zeta _{{r}}}^{ 2}{\mu _{{b}}}^{3}{\mu _{{d}}}^{9}{\omega _{{r}}}^{4}{\omega _{{s}}}^{20}+ 220\,{\zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b}}}^{2}{\mu _{{d}}}^{10}{\omega _{{d}}}^{ 20}{\omega _{{r}}}^{2}{\omega _{{s}}}^{2}\\ -3960\,{\zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{ b}}}^{2}{\mu _{{d}}}^{10}{\omega _{{d}}}^{18}{\omega _{{r}}}^{2}{\omega _{ {s}}}^{4}+30140\,{\zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b}}}^{2}{\mu _{{d}}}^{10}{ \omega _{{d}}}^{16}{\omega _{{r}}}^{2}{\omega _{{s}}}^{6}\\ -126280\,{\zeta _ {{r}}}^{2}{\mu _{{b}}}^{2}{\mu _{{d}}}^{10}{\omega _{{d}}}^{14}{\omega _{{ r}}}^{2}{\omega _{{s}}}^{8}+317680\,{\zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b}}}^{2}{ \mu _{{d}}}^{10}{\omega _{{d}}}^{12}{\omega _{{r}}}^{2}{\omega _{{s}}}^{10 }\\ -491040\,{\zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b}}}^{2}{\mu _{{d}}}^{10}{\omega _{{d} }}^{10}{\omega _{{r}}}^{2}{\omega _{{s}}}^{12}+458260\,{\zeta _{{r}}}^{2} {\mu _{{b}}}^{2}{\mu _{{d}}}^{10}{\omega _{{d}}}^{8}{\omega _{{r}}}^{2}{ \omega _{{s}}}^{14}\\ -243320\,{\zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b}}}^{2}{\mu _{{d}}} ^{10}{\omega _{{d}}}^{6}{\omega _{{r}}}^{2}{\omega _{{s}}}^{16}+64900\,{ \zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b}}}^{2}{\mu _{{d}}}^{10}{\omega _{{d}}}^{4}{ \omega _{{r}}}^{2}{\omega _{{s}}}^{18}\\ -6600\,{\zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b}} }^{2}{\mu _{{d}}}^{10}{\omega _{{d}}}^{2}{\omega _{{r}}}^{2}{\omega _{{s}} }^{20}+220\,{\zeta _{{r}}}^{2}{\mu _{{b}}}^{2}{\mu _{{d}}}^{10}{\omega _{{ r}}}^{2}{\omega _{{s}}}^{22}\\ +671\,{\mu _{{b}}}^{10}{\mu _{{d}}}^{2}{ \omega _{{d}}}^{4}{\omega _{{r}}}^{20}+5368\,{\mu _{{b}}}^{9}{\mu _{{d}}}^ {3}{\omega _{{d}}}^{6}{\omega _{{r}}}^{18}\\ -11968\,{\mu _{{b}}}^{9}{\mu _{{ d}}}^{3}{\omega _{{d}}}^{4}{\omega _{{r}}}^{18}{\omega _{{s}}}^{2}+18788 \,{\mu _{{b}}}^{8}{\mu _{{d}}}^{4}{\omega _{{d}}}^{8}{\omega _{{r}}}^{16}\\ - 83776\,{\mu _{{b}}}^{8}{\mu _{{d}}}^{4}{\omega _{{d}}}^{6}{\omega _{{r}}}^ {16}{\omega _{{s}}}^{2} \end{array}\right) \end{aligned} \end{aligned}$$

(A.1)

$$\begin{aligned} \begin{aligned} H_{1}=S_{{0}}\pi \,\left( \begin{array}{ll} 89962\,{\mu _{{b}}}^{8}{\mu _{{d}}}^{4}{\omega _{{ d}}}^{4}{\omega _{{r}}}^{16}{\omega _{{s}}}^{4}+37576\,{\mu _{{b}}}^{7}{ \mu _{{d}}}^{5}{\omega _{{d}}}^{10}{\omega _{{r}}}^{14}\\ -251328\,{\mu _{{b} }}^{7}{\mu _{{d}}}^{5}{\omega _{{d}}}^{8}{\omega _{{r}}}^{14}{\omega _{{s} }}^{2}+539772\,{\mu _{{b}}}^{7}{\mu _{{d}}}^{5}{\omega _{{d}}}^{6}{\omega _{{r}}}^{14}{\omega _{{s}}}^{4}\\ -370350\,{\mu _{{b}}}^{7}{\mu _{{d}}}^{5}{ \omega _{{d}}}^{4}{\omega _{{r}}}^{14}{\omega _{{s}}}^{6}+46970\,{\mu _{{b }}}^{6}{\mu _{{d}}}^{6}{\omega _{{d}}}^{12}{\omega _{{r}}}^{12}\\ -418880\,{ \mu _{{b}}}^{6}{\mu _{{d}}}^{6}{\omega _{{d}}}^{10}{\omega _{{r}}}^{12}{ \omega _{{s}}}^{2}+1349430\,{\mu _{{b}}}^{6}{\mu _{{d}}}^{6}{\omega _{{d}} }^{8}{\omega _{{r}}}^{12}{\omega _{{s}}}^{4}\\ -1851750\,{\mu _{{b}}}^{6}{ \mu _{{d}}}^{6}{\omega _{{d}}}^{6}{\omega _{{r}}}^{12}{\omega _{{s}}}^{6}+ 907772\,{\mu _{{b}}}^{6}{\mu _{{d}}}^{6}{\omega _{{d}}}^{4}{\omega _{{r}}} ^{12}{\omega _{{s}}}^{8}\\ +37576\,{\mu _{{b}}}^{5}{\mu _{{d}}}^{7}{\omega _{ {d}}}^{14}{\omega _{{r}}}^{10}-418880\,{\mu _{{b}}}^{5}{\mu _{{d}}}^{7}{ \omega _{{d}}}^{12}{\omega _{{r}}}^{10}{\omega _{{s}}}^{2}\\ +1799240\,{\mu _ {{b}}}^{5}{\mu _{{d}}}^{7}{\omega _{{d}}}^{10}{\omega _{{r}}}^{10}{\omega _{{s}}}^{4}-3703500\,{\mu _{{b}}}^{5}{\mu _{{d}}}^{7}{\omega _{{d}}}^{8}{ \omega _{{r}}}^{10}{\omega _{{s}}}^{6}\\ +3631088\,{\mu _{{b}}}^{5}{\mu _{{d} }}^{7}{\omega _{{d}}}^{6}{\omega _{{r}}}^{10}{\omega _{{s}}}^{8}-1346972 \,{\mu _{{b}}}^{5}{\mu _{{d}}}^{7}{\omega _{{d}}}^{4}{\omega _{{r}}}^{10}{ \omega _{{s}}}^{10}\\ +18788\,{\mu _{{b}}}^{4}{\mu _{{d}}}^{8}{\omega _{{d}}} ^{16}{\omega _{{r}}}^{8}-251328\,{\mu _{{b}}}^{4}{\mu _{{d}}}^{8}{\omega _ {{d}}}^{14}{\omega _{{r}}}^{8}{\omega _{{s}}}^{2}\\ +1349430\,{\mu _{{b}}}^{ 4}{\mu _{{d}}}^{8}{\omega _{{d}}}^{12}{\omega _{{r}}}^{8}{\omega _{{s}}}^{ 4}-3703500\,{\mu _{{b}}}^{4}{\mu _{{d}}}^{8}{\omega _{{d}}}^{10}{\omega _{ {r}}}^{8}{\omega _{{s}}}^{6}\\ +5446632\,{\mu _{{b}}}^{4}{\mu _{{d}}}^{8}{ \omega _{{d}}}^{8}{\omega _{{r}}}^{8}{\omega _{{s}}}^{8}-4040916\,{\mu _{{ b}}}^{4}{\mu _{{d}}}^{8}{\omega _{{d}}}^{6}{\omega _{{r}}}^{8}{\omega _{{s }}}^{10}\\ +1172041\,{\mu _{{b}}}^{4}{\mu _{{d}}}^{8}{\omega _{{d}}}^{4}{ \omega _{{r}}}^{8}{\omega _{{s}}}^{12}+5368\,{\mu _{{b}}}^{3}{\mu _{{d}}}^ {9}{\omega _{{d}}}^{18}{\omega _{{r}}}^{6}\\ -83776\,{\mu _{{b}}}^{3}{\mu _{{ d}}}^{9}{\omega _{{d}}}^{16}{\omega _{{r}}}^{6}{\omega _{{s}}}^{2}+539772 \,{\mu _{{b}}}^{3}{\mu _{{d}}}^{9}{\omega _{{d}}}^{14}{\omega _{{r}}}^{6}{ \omega _{{s}}}^{4}\\ -1851750\,{\mu _{{b}}}^{3}{\mu _{{d}}}^{9}{\omega _{{d}} }^{12}{\omega _{{r}}}^{6}{\omega _{{s}}}^{6}+3631088\,{\mu _{{b}}}^{3}{ \mu _{{d}}}^{9}{\omega _{{d}}}^{10}{\omega _{{r}}}^{6}{\omega _{{s}}}^{8}\\ - 4040916\,{\mu _{{b}}}^{3}{\mu _{{d}}}^{9}{\omega _{{d}}}^{8}{\omega _{{r}} }^{6}{\omega _{{s}}}^{10}+2344082\,{\mu _{{b}}}^{3}{\mu _{{d}}}^{9}{ \omega _{{d}}}^{6}{\omega _{{r}}}^{6}{\omega _{{s}}}^{12}\\ -542444\,{\mu _{{ b}}}^{3}{\mu _{{d}}}^{9}{\omega _{{d}}}^{4}{\omega _{{r}}}^{6}{\omega _{{s }}}^{14}+671\,{\mu _{{b}}}^{2}{\mu _{{d}}}^{10}{\omega _{{d}}}^{20}{ \omega _{{r}}}^{4}\\ -11968\,{\mu _{{b}}}^{2}{\mu _{{d}}}^{10}{\omega _{{d}}} ^{18}{\omega _{{r}}}^{4}{\omega _{{s}}}^{2}+89962\,{\mu _{{b}}}^{2}{\mu _{ {d}}}^{10}{\omega _{{d}}}^{16}{\omega _{{r}}}^{4}{\omega _{{s}}}^{4}\\ - 370350\,{\mu _{{b}}}^{2}{\mu _{{d}}}^{10}{\omega _{{d}}}^{14}{\omega _{{r} }}^{4}{\omega _{{s}}}^{6}+907772\,{\mu _{{b}}}^{2}{\mu _{{d}}}^{10}{ \omega _{{d}}}^{12}{\omega _{{r}}}^{4}{\omega _{{s}}}^{8}\\ -1346972\,{\mu _{ {b}}}^{2}{\mu _{{d}}}^{10}{\omega _{{d}}}^{10}{\omega _{{r}}}^{4}{\omega _ {{s}}}^{10}+1172041\,{\mu _{{b}}}^{2}{\mu _{{d}}}^{10}{\omega _{{d}}}^{8} {\omega _{{r}}}^{4}{\omega _{{s}}}^{12}\\ -542444\,{\mu _{{b}}}^{2}{\mu _{{d} }}^{10}{\omega _{{d}}}^{6}{\omega _{{r}}}^{4}{\omega _{{s}}}^{14}+102091 \,{\mu _{{b}}}^{2}{\mu _{{d}}}^{10}{\omega _{{d}}}^{4}{\omega _{{r}}}^{4}{ \omega _{{s}}}^{16}\\ +225\,{\mu _{{b}}}^{10}\mu _{{d}}{\omega _{{d}}}^{2}{ \omega _{{r}}}^{20}{\omega _{{s}}}^{2}+2025\,{\mu _{{b}}}^{9}{\mu _{{d}}}^ {2}{\omega _{{d}}}^{4}{\omega _{{r}}}^{18}{\omega _{{s}}}^{2}\\ -4050\,{\mu _ {{b}}}^{9}{\mu _{{d}}}^{2}{\omega _{{d}}}^{2}{\omega _{{r}}}^{18}{\omega _ {{s}}}^{4}+8100\,{\mu _{{b}}}^{8}{\mu _{{d}}}^{3}{\omega _{{d}}}^{6}{ \omega _{{r}}}^{16}{\omega _{{s}}}^{2}\\ -32400\,{\mu _{{b}}}^{8}{\mu _{{d}}} ^{3}{\omega _{{d}}}^{4}{\omega _{{r}}}^{16}{\omega _{{s}}}^{4}+30825\,{ \mu _{{b}}}^{8}{\mu _{{d}}}^{3}{\omega _{{d}}}^{2}{\omega _{{r}}}^{16}{ \omega _{{s}}}^{6}\\ +18900\,{\mu _{{b}}}^{7}{\mu _{{d}}}^{4}{\omega _{{d}}}^ {8}{\omega _{{r}}}^{14}{\omega _{{s}}}^{2}-113400\,{\mu _{{b}}}^{7}{\mu _{ {d}}}^{4}{\omega _{{d}}}^{6}{\omega _{{r}}}^{14}{\omega _{{s}}}^{4}\\ + 215776\,{\mu _{{b}}}^{7}{\mu _{{d}}}^{4}{\omega _{{d}}}^{4}{\omega _{{r}}} ^{14}{\omega _{{s}}}^{6}-129150\,{\mu _{{b}}}^{7}{\mu _{{d}}}^{4}{\omega _ {{d}}}^{2}{\omega _{{r}}}^{14}{\omega _{{s}}}^{8}\\ +28350\,{\mu _{{b}}}^{6} {\mu _{{d}}}^{5}{\omega _{{d}}}^{10}{\omega _{{r}}}^{12}{\omega _{{s}}}^{2 }-226800\,{\mu _{{b}}}^{6}{\mu _{{d}}}^{5}{\omega _{{d}}}^{8}{\omega _{{r} }}^{12}{\omega _{{s}}}^{4}\\ +647332\,{\mu _{{b}}}^{6}{\mu _{{d}}}^{5}{ \omega _{{d}}}^{6}{\omega _{{r}}}^{12}{\omega _{{s}}}^{6}-774918\,{\mu _{{ b}}}^{6}{\mu _{{d}}}^{5}{\omega _{{d}}}^{4}{\omega _{{r}}}^{12}{\omega _{{ s}}}^{8}\\ +324900\,{\mu _{{b}}}^{6}{\mu _{{d}}}^{5}{\omega _{{d}}}^{2}{ \omega _{{r}}}^{12}{\omega _{{s}}}^{10}+28350\,{\mu _{{b}}}^{5}{\mu _{{d}} }^{6}{\omega _{{d}}}^{12}{\omega _{{r}}}^{10}{\omega _{{s}}}^{2}\\ -283500\, {\mu _{{b}}}^{5}{\mu _{{d}}}^{6}{\omega _{{d}}}^{10}{\omega _{{r}}}^{10}{ \omega _{{s}}}^{4}+1078896\,{\mu _{{b}}}^{5}{\mu _{{d}}}^{6}{\omega _{{d}} }^{8}{\omega _{{r}}}^{10}{\omega _{{s}}}^{6}\\ -1937358\,{\mu _{{b}}}^{5}{ \mu _{{d}}}^{6}{\omega _{{d}}}^{6}{\omega _{{r}}}^{10}{\omega _{{s}}}^{8}+ 1624637\,{\mu _{{b}}}^{5}{\mu _{{d}}}^{6}{\omega _{{d}}}^{4}{\omega _{{r}} }^{10}{\omega _{{s}}}^{10}\\ -502200\,{\mu _{{b}}}^{5}{\mu _{{d}}}^{6}{ \omega _{{d}}}^{2}{\omega _{{r}}}^{10}{\omega _{{s}}}^{12}+18900\,{\mu _{{ b}}}^{4}{\mu _{{d}}}^{7}{\omega _{{d}}}^{14}{\omega _{{r}}}^{8}{\omega _{{ s}}}^{2}\\ -226800\,{\mu _{{b}}}^{4}{\mu _{{d}}}^{7}{\omega _{{d}}}^{12}{ \omega _{{r}}}^{8}{\omega _{{s}}}^{4}+1078910\,{\mu _{{b}}}^{4}{\mu _{{d}} }^{7}{\omega _{{d}}}^{10}{\omega _{{r}}}^{8}{\omega _{{s}}}^{6}\\ -2583270\, {\mu _{{b}}}^{4}{\mu _{{d}}}^{7}{\omega _{{d}}}^{8}{\omega _{{r}}}^{8}{ \omega _{{s}}}^{8}+3249685\,{\mu _{{b}}}^{4}{\mu _{{d}}}^{7}{\omega _{{d}} }^{6}{\omega _{{r}}}^{8}{\omega _{{s}}}^{10}\\ -2009374\,{\mu _{{b}}}^{4}{ \mu _{{d}}}^{7}{\omega _{{d}}}^{4}{\omega _{{r}}}^{8}{\omega _{{s}}}^{12}+ 468675\,{\mu _{{b}}}^{4}{\mu _{{d}}}^{7}{\omega _{{d}}}^{2}{\omega _{{r}}} ^{8}{\omega _{{s}}}^{14}\\ +8100\,{\mu _{{b}}}^{3}{\mu _{{d}}}^{8}{\omega _{{ d}}}^{16}{\omega _{{r}}}^{6}{\omega _{{s}}}^{2}-113400\,{\mu _{{b}}}^{3}{ \mu _{{d}}}^{8}{\omega _{{d}}}^{14}{\omega _{{r}}}^{6}{\omega _{{s}}}^{4}\\ + 647360\,{\mu _{{b}}}^{3}{\mu _{{d}}}^{8}{\omega _{{d}}}^{12}{\omega _{{r}} }^{6}{\omega _{{s}}}^{6}-1937610\,{\mu _{{b}}}^{3}{\mu _{{d}}}^{8}{\omega _{{d}}}^{10}{\omega _{{r}}}^{6}{\omega _{{s}}}^{8}\\ +3250370\,{\mu _{{b}}}^ {3}{\mu _{{d}}}^{8}{\omega _{{d}}}^{8}{\omega _{{r}}}^{6}{\omega _{{s}}}^{ 10}-3015496\,{\mu _{{b}}}^{3}{\mu _{{d}}}^{8}{\omega _{{d}}}^{6}{\omega _{ {r}}}^{6}{\omega _{{s}}}^{12}\\ +1407469\,{\mu _{{b}}}^{3}{\mu _{{d}}}^{8}{ \omega _{{d}}}^{4}{\omega _{{r}}}^{6}{\omega _{{s}}}^{14}-248850\,{\mu _{{ b}}}^{3}{\mu _{{d}}}^{8}{\omega _{{d}}}^{2}{\omega _{{r}}}^{6}{\omega _{{s }}}^{16}\\ +2025\,{\mu _{{b}}}^{2}{\mu _{{d}}}^{9}{\omega _{{d}}}^{18}{ \omega _{{r}}}^{4}{\omega _{{s}}}^{2}-32400\,{\mu _{{b}}}^{2}{\mu _{{d}}}^ {9}{\omega _{{d}}}^{16}{\omega _{{r}}}^{4}{\omega _{{s}}}^{4}\\ +215796\,{ \mu _{{b}}}^{2}{\mu _{{d}}}^{9}{\omega _{{d}}}^{14}{\omega _{{r}}}^{4}{ \omega _{{s}}}^{6}-775170\,{\mu _{{b}}}^{2}{\mu _{{d}}}^{9}{\omega _{{d}}} ^{12}{\omega _{{r}}}^{4}{\omega _{{s}}}^{8}\\ +1625870\,{\mu _{{b}}}^{2}{\mu _{{d}}}^{9}{\omega _{{d}}}^{10}{\omega _{{r}}}^{4}{\omega _{{s}}}^{10}- 2012244\,{\mu _{{b}}}^{2}{\mu _{{d}}}^{9}{\omega _{{d}}}^{8}{\omega _{{r}} }^{4}{\omega _{{s}}}^{12}\\ +1410357\,{\mu _{{b}}}^{2}{\mu _{{d}}}^{9}{ \omega _{{d}}}^{6}{\omega _{{r}}}^{4}{\omega _{{s}}}^{14}-499930\,{\mu _{{ b}}}^{2}{\mu _{{d}}}^{9}{\omega _{{d}}}^{4}{\omega _{{r}}}^{4}{\omega _{{s }}}^{16}\\ +66375\,{\mu _{{b}}}^{2}{\mu _{{d}}}^{9}{\omega _{{d}}}^{2}{ \omega _{{r}}}^{4}{\omega _{{s}}}^{18}+225\,\mu _{{b}}{\mu _{{d}}}^{10}{ \omega _{{d}}}^{20}{\omega _{{r}}}^{2}{\omega _{{s}}}^{2}\\ -4050\,\mu _{{b}} {\mu _{{d}}}^{10}{\omega _{{d}}}^{18}{\omega _{{r}}}^{2}{\omega _{{s}}}^{4 }+30832\,\mu _{{b}}{\mu _{{d}}}^{10}{\omega _{{d}}}^{16}{\omega _{{r}}}^{2 }{\omega _{{s}}}^{6}\\ -129258\,\mu _{{b}}{\mu _{{d}}}^{10}{\omega _{{d}}}^{ 14}{\omega _{{r}}}^{2}{\omega _{{s}}}^{8}+325585\,\mu _{{b}}{\mu _{{d}}}^{ 10}{\omega _{{d}}}^{12}{\omega _{{r}}}^{2}{\omega _{{s}}}^{10} \end{array}\right) \end{aligned} \end{aligned}$$

(A.2)

$$\begin{aligned} \begin{aligned} H_{1}=S_{{0}}\pi \,\left( \begin{array}{ll} -504496\, \mu _{{b}}{\mu _{{d}}}^{10}{\omega _{{d}}}^{10}{\omega _{{r}}}^{2}{\omega _ {{s}}}^{12}+473007\,\mu _{{b}}{\mu _{{d}}}^{10}{\omega _{{d}}}^{8}{\omega _{{r}}}^{2}{\omega _{{s}}}^{14}\\ -253310\,\mu _{{b}}{\mu _{{d}}}^{10}{ \omega _{{d}}}^{6}{\omega _{{r}}}^{2}{\omega _{{s}}}^{16}+68440\,\mu _{{b} }{\mu _{{d}}}^{10}{\omega _{{d}}}^{4}{\omega _{{r}}}^{2}{\omega _{{s}}}^{ 18}\\ -6750\,\mu _{{b}}{\mu _{{d}}}^{10}{\omega _{{d}}}^{2}{\omega _{{r}}}^{2 }{\omega _{{s}}}^{20}+{\mu _{{d}}}^{11}{\omega _{{d}}}^{18}{\omega _{{s}}} ^{6}-18\,{\mu _{{d}}}^{11}{\omega _{{d}}}^{16}{\omega _{{s}}}^{8}\\ +137\,{ \mu _{{d}}}^{11}{\omega _{{d}}}^{14}{\omega _{{s}}}^{10}-574\,{\mu _{{d}}} ^{11}{\omega _{{d}}}^{12}{\omega _{{s}}}^{12}\\ +1444\,{\mu _{{d}}}^{11}{ \omega _{{d}}}^{10}{\omega _{{s}}}^{14}-2230\,{\mu _{{d}}}^{11}{\omega _{{ d}}}^{8}{\omega _{{s}}}^{16}\\ +2065\,{\mu _{{d}}}^{11}{\omega _{{d}}}^{6}{ \omega _{{s}}}^{18}-1050\,{\mu _{{d}}}^{11}{\omega _{{d}}}^{4}{\omega _{{s }}}^{20}+225\,{\mu _{{d}}}^{11}{\omega _{{d}}}^{2}{\omega _{{s}}}^{22} \end{array}\right) \end{aligned} \end{aligned}$$

(A.3)

$$\begin{aligned} \begin{aligned}&H_{2}=2\,\zeta _{{r}}\mu _{{b}}\omega _{{r}}{\omega _{{s}}}^{6} \\&\left( \begin{array}{cc} {\mu _{{b} }}^{10}{\omega _{{r}}}^{20}+10\,{\mu _{{b}}}^{9}\mu _{{d}}{\omega _{{d}}}^ {2}{\omega _{{r}}}^{18}\\ -18\,{\mu _{{b}}}^{9}\mu _{{d}}{\omega _{{r}}}^{18} {\omega _{{s}}}^{2}+45\,{\mu _{{b}}}^{8}{\mu _{{d}}}^{2}{\omega _{{d}}}^{4 }{\omega _{{r}}}^{16}\\ -162\,{\mu _{{b}}}^{8}{\mu _{{d}}}^{2}{\omega _{{d}}} ^{2}{\omega _{{r}}}^{16}{\omega _{{s}}}^{2}+137\,{\mu _{{b}}}^{8}{\mu _{{d }}}^{2}{\omega _{{r}}}^{16}{\omega _{{s}}}^{4}\\ +120\,{\mu _{{b}}}^{7}{\mu _ {{d}}}^{3}{\omega _{{d}}}^{6}{\omega _{{r}}}^{14}-648\,{\mu _{{b}}}^{7}{ \mu _{{d}}}^{3}{\omega _{{d}}}^{4}{\omega _{{r}}}^{14}{\omega _{{s}}}^{2}\\ + 1096\,{\mu _{{b}}}^{7}{\mu _{{d}}}^{3}{\omega _{{d}}}^{2}{\omega _{{r}}}^{ 14}{\omega _{{s}}}^{4}-574\,{\mu _{{b}}}^{7}{\mu _{{d}}}^{3}{\omega _{{r}} }^{14}{\omega _{{s}}}^{6}\\ +210\,{\mu _{{b}}}^{6}{\mu _{{d}}}^{4}{\omega _{{ d}}}^{8}{\omega _{{r}}}^{12}-1512\,{\mu _{{b}}}^{6}{\mu _{{d}}}^{4}{ \omega _{{d}}}^{6}{\omega _{{r}}}^{12}{\omega _{{s}}}^{2}\\ +3836\,{\mu _{{b} }}^{6}{\mu _{{d}}}^{4}{\omega _{{d}}}^{4}{\omega _{{r}}}^{12}{\omega _{{s} }}^{4}-4018\,{\mu _{{b}}}^{6}{\mu _{{d}}}^{4}{\omega _{{d}}}^{2}{\omega _{ {r}}}^{12}{\omega _{{s}}}^{6}\\ +1444\,{\mu _{{b}}}^{6}{\mu _{{d}}}^{4}{ \omega _{{r}}}^{12}{\omega _{{s}}}^{8}+252\,{\mu _{{b}}}^{5}{\mu _{{d}}}^{ 5}{\omega _{{d}}}^{10}{\omega _{{r}}}^{10}\\ -2268\,{\mu _{{b}}}^{5}{\mu _{{d }}}^{5}{\omega _{{d}}}^{8}{\omega _{{r}}}^{10}{\omega _{{s}}}^{2}+7672\,{ \mu _{{b}}}^{5}{\mu _{{d}}}^{5}{\omega _{{d}}}^{6}{\omega _{{r}}}^{10}{ \omega _{{s}}}^{4}\\ -12054\,{\mu _{{b}}}^{5}{\mu _{{d}}}^{5}{\omega _{{d}}}^ {4}{\omega _{{r}}}^{10}{\omega _{{s}}}^{6}+8664\,{\mu _{{b}}}^{5}{\mu _{{d }}}^{5}{\omega _{{d}}}^{2}{\omega _{{r}}}^{10}{\omega _{{s}}}^{8}\\ -2232\,{ \mu _{{b}}}^{5}{\mu _{{d}}}^{5}{\omega _{{r}}}^{10}{\omega _{{s}}}^{10}+ 210\,{\mu _{{b}}}^{4}{\mu _{{d}}}^{6}{\omega _{{d}}}^{12}{\omega _{{r}}}^{ 8}\\ -2268\,{\mu _{{b}}}^{4}{\mu _{{d}}}^{6}{\omega _{{d}}}^{10}{\omega _{{r} }}^{8}{\omega _{{s}}}^{2}+9590\,{\mu _{{b}}}^{4}{\mu _{{d}}}^{6}{\omega _{ {d}}}^{8}{\omega _{{r}}}^{8}{\omega _{{s}}}^{4}\\ -20090\,{\mu _{{b}}}^{4}{ \mu _{{d}}}^{6}{\omega _{{d}}}^{6}{\omega _{{r}}}^{8}{\omega _{{s}}}^{6}+ 21660\,{\mu _{{b}}}^{4}{\mu _{{d}}}^{6}{\omega _{{d}}}^{4}{\omega _{{r}}}^ {8}{\omega _{{s}}}^{8}\\ -11160\,{\mu _{{b}}}^{4}{\mu _{{d}}}^{6}{\omega _{{d }}}^{2}{\omega _{{r}}}^{8}{\omega _{{s}}}^{10}+2083\,{\mu _{{b}}}^{4}{\mu _{{d}}}^{6}{\omega _{{r}}}^{8}{\omega _{{s}}}^{12}\\ +120\,{\mu _{{b}}}^{3}{ \mu _{{d}}}^{7}{\omega _{{d}}}^{14}{\omega _{{r}}}^{6}-1512\,{\mu _{{b}}}^ {3}{\mu _{{d}}}^{7}{\omega _{{d}}}^{12}{\omega _{{r}}}^{6}{\omega _{{s}}}^ {2}\\ +7672\,{\mu _{{b}}}^{3}{\mu _{{d}}}^{7}{\omega _{{d}}}^{10}{\omega _{{r }}}^{6}{\omega _{{s}}}^{4}-20090\,{\mu _{{b}}}^{3}{\mu _{{d}}}^{7}{\omega _{{d}}}^{8}{\omega _{{r}}}^{6}{\omega _{{s}}}^{6}\\ +28880\,{\mu _{{b}}}^{3} {\mu _{{d}}}^{7}{\omega _{{d}}}^{6}{\omega _{{r}}}^{6}{\omega _{{s}}}^{8}- 22320\,{\mu _{{b}}}^{3}{\mu _{{d}}}^{7}{\omega _{{d}}}^{4}{\omega _{{r}}}^ {6}{\omega _{{s}}}^{10}\\ +8332\,{\mu _{{b}}}^{3}{\mu _{{d}}}^{7}{\omega _{{d }}}^{2}{\omega _{{r}}}^{6}{\omega _{{s}}}^{12}-1106\,{\mu _{{b}}}^{3}{\mu _{{d}}}^{7}{\omega _{{r}}}^{6}{\omega _{{s}}}^{14}\\ +45\,{\mu _{{b}}}^{2}{ \mu _{{d}}}^{8}{\omega _{{d}}}^{16}{\omega _{{r}}}^{4}-648\,{\mu _{{b}}}^{ 2}{\mu _{{d}}}^{8}{\omega _{{d}}}^{14}{\omega _{{r}}}^{4}{\omega _{{s}}}^{ 2}\\ +3836\,{\mu _{{b}}}^{2}{\mu _{{d}}}^{8}{\omega _{{d}}}^{12}{\omega _{{r} }}^{4}{\omega _{{s}}}^{4}-12054\,{\mu _{{b}}}^{2}{\mu _{{d}}}^{8}{\omega _ {{d}}}^{10}{\omega _{{r}}}^{4}{\omega _{{s}}}^{6}\\ +21660\,{\mu _{{b}}}^{2} {\mu _{{d}}}^{8}{\omega _{{d}}}^{8}{\omega _{{r}}}^{4}{\omega _{{s}}}^{8}- 22320\,{\mu _{{b}}}^{2}{\mu _{{d}}}^{8}{\omega _{{d}}}^{6}{\omega _{{r}}}^ {4}{\omega _{{s}}}^{10}\\ +12498\,{\mu _{{b}}}^{2}{\mu _{{d}}}^{8}{\omega _{{ d}}}^{4}{\omega _{{r}}}^{4}{\omega _{{s}}}^{12}-3318\,{\mu _{{b}}}^{2}{ \mu _{{d}}}^{8}{\omega _{{d}}}^{2}{\omega _{{r}}}^{4}{\omega _{{s}}}^{14}\\ + 295\,{\mu _{{b}}}^{2}{\mu _{{d}}}^{8}{\omega _{{r}}}^{4}{\omega _{{s}}}^{ 16}+10\,\mu _{{b}}{\mu _{{d}}}^{9}{\omega _{{d}}}^{18}{\omega _{{r}}}^{2}\\ - 162\,\mu _{{b}}{\mu _{{d}}}^{9}{\omega _{{d}}}^{16}{\omega _{{r}}}^{2}{ \omega _{{s}}}^{2}+1096\,\mu _{{b}}{\mu _{{d}}}^{9}{\omega _{{d}}}^{14}{ \omega _{{r}}}^{2}{\omega _{{s}}}^{4}\\ -4018\,\mu _{{b}}{\mu _{{d}}}^{9}{ \omega _{{d}}}^{12}{\omega _{{r}}}^{2}{\omega _{{s}}}^{6}+8664\,\mu _{{b}} {\mu _{{d}}}^{9}{\omega _{{d}}}^{10}{\omega _{{r}}}^{2}{\omega _{{s}}}^{8} \\ -11160\,\mu _{{b}}{\mu _{{d}}}^{9}{\omega _{{d}}}^{8}{\omega _{{r}}}^{2}{ \omega _{{s}}}^{10}+8332\,\mu _{{b}}{\mu _{{d}}}^{9}{\omega _{{d}}}^{6}{ \omega _{{r}}}^{2}{\omega _{{s}}}^{12}\\ -3318\,\mu _{{b}}{\mu _{{d}}}^{9}{ \omega _{{d}}}^{4}{\omega _{{r}}}^{2}{\omega _{{s}}}^{14}+590\,\mu _{{b}}{ \mu _{{d}}}^{9}{\omega _{{d}}}^{2}{\omega _{{r}}}^{2}{\omega _{{s}}}^{16}\\ - 30\,\mu _{{b}}{\mu _{{d}}}^{9}{\omega _{{r}}}^{2}{\omega _{{s}}}^{18}+{\mu _{{d}}}^{10}{\omega _{{d}}}^{20}-18\,{\mu _{{d}}}^{10}{\omega _{{d}}}^{18 }{\omega _{{s}}}^{2}\\ +137\,{\mu _{{d}}}^{10}{\omega _{{d}}}^{16}{\omega _{{ s}}}^{4}-574\,{\mu _{{d}}}^{10}{\omega _{{d}}}^{14}{\omega _{{s}}}^{6}\\ + 1444\,{\mu _{{d}}}^{10}{\omega _{{d}}}^{12}{\omega _{{s}}}^{8}-2232\,{\mu _{{d}}}^{10}{\omega _{{d}}}^{10}{\omega _{{s}}}^{10}\\ +2083\,{\mu _{{d}}}^{ 10}{\omega _{{d}}}^{8}{\omega _{{s}}}^{12}-1106\,{\mu _{{d}}}^{10}{\omega _{{d}}}^{6}{\omega _{{s}}}^{14}\\ +295\,{\mu _{{d}}}^{10}{\omega _{{d}}}^{4} {\omega _{{s}}}^{16}-30\,{\mu _{{d}}}^{10}{\omega _{{d}}}^{2}{\omega _{{s} }}^{18}+{\mu _{{d}}}^{10}{\omega _{{s}}}^{20} \end{array}\right) \end{aligned} \end{aligned}$$

(A.4)

$$\begin{aligned} \begin{aligned} \zeta _{1}=\left( \begin{array}{ll} 671\,{\mu _{{b}}}^{10}{\mu _{{d}}}^{2}{\omega _{{d}}}^{4}{\omega _{{r}}}^{ 20}+5368\,{\mu _{{b}}}^{9}{\mu _{{d}}}^{3}{\omega _{{d}}}^{6}{\omega _{{r} }}^{18}-11968\,{\mu _{{b}}}^{9}{\mu _{{d}}}^{3}{\omega _{{d}}}^{4}{\omega _{{r}}}^{18}{\omega _{{s}}}^{2}\\ +18788\,{\mu _{{b}}}^{8}{\mu _{{d}}}^{4}{ \omega _{{d}}}^{8}{\omega _{{r}}}^{16}-83776\,{\mu _{{b}}}^{8}{\mu _{{d}}} ^{4}{\omega _{{d}}}^{6}{\omega _{{r}}}^{16}{\omega _{{s}}}^{2}+89962\,{ \mu _{{b}}}^{8}{\mu _{{d}}}^{4}{\omega _{{d}}}^{4}{\omega _{{r}}}^{16}{ \omega _{{s}}}^{4}\\ +37576\,{\mu _{{b}}}^{7}{\mu _{{d}}}^{5}{\omega _{{d}}}^ {10}{\omega _{{r}}}^{14}-251328\,{\mu _{{b}}}^{7}{\mu _{{d}}}^{5}{\omega _ {{d}}}^{8}{\omega _{{r}}}^{14}{\omega _{{s}}}^{2}\\ +539772\,{\mu _{{b}}}^{7 }{\mu _{{d}}}^{5}{\omega _{{d}}}^{6}{\omega _{{r}}}^{14}{\omega _{{s}}}^{4 }-370350\,{\mu _{{b}}}^{7}{\mu _{{d}}}^{5}{\omega _{{d}}}^{4}{\omega _{{r} }}^{14}{\omega _{{s}}}^{6}\\ +46970\,{\mu _{{b}}}^{6}{\mu _{{d}}}^{6}{\omega _{{d}}}^{12}{\omega _{{r}}}^{12}-418880\,{\mu _{{b}}}^{6}{\mu _{{d}}}^{6} {\omega _{{d}}}^{10}{\omega _{{r}}}^{12}{\omega _{{s}}}^{2}\\ +1349430\,{\mu _{{b}}}^{6}{\mu _{{d}}}^{6}{\omega _{{d}}}^{8}{\omega _{{r}}}^{12}{\omega _{{s}}}^{4}-1851750\,{\mu _{{b}}}^{6}{\mu _{{d}}}^{6}{\omega _{{d}}}^{6}{ \omega _{{r}}}^{12}{\omega _{{s}}}^{6}\\ +907772\,{\mu _{{b}}}^{6}{\mu _{{d}} }^{6}{\omega _{{d}}}^{4}{\omega _{{r}}}^{12}{\omega _{{s}}}^{8}+37576\,{ \mu _{{b}}}^{5}{\mu _{{d}}}^{7}{\omega _{{d}}}^{14}{\omega _{{r}}}^{10}\\ - 418880\,{\mu _{{b}}}^{5}{\mu _{{d}}}^{7}{\omega _{{d}}}^{12}{\omega _{{r}} }^{10}{\omega _{{s}}}^{2}+1799240\,{\mu _{{b}}}^{5}{\mu _{{d}}}^{7}{ \omega _{{d}}}^{10}{\omega _{{r}}}^{10}{\omega _{{s}}}^{4}\\ -3703500\,{\mu _ {{b}}}^{5}{\mu _{{d}}}^{7}{\omega _{{d}}}^{8}{\omega _{{r}}}^{10}{\omega _ {{s}}}^{6}+3631088\,{\mu _{{b}}}^{5}{\mu _{{d}}}^{7}{\omega _{{d}}}^{6}{ \omega _{{r}}}^{10}{\omega _{{s}}}^{8}\\ -1346972\,{\mu _{{b}}}^{5}{\mu _{{d} }}^{7}{\omega _{{d}}}^{4}{\omega _{{r}}}^{10}{\omega _{{s}}}^{10}+18788\, {\mu _{{b}}}^{4}{\mu _{{d}}}^{8}{\omega _{{d}}}^{16}{\omega _{{r}}}^{8}\\ - 251328\,{\mu _{{b}}}^{4}{\mu _{{d}}}^{8}{\omega _{{d}}}^{14}{\omega _{{r}} }^{8}{\omega _{{s}}}^{2}+1349430\,{\mu _{{b}}}^{4}{\mu _{{d}}}^{8}{\omega _{{d}}}^{12}{\omega _{{r}}}^{8}{\omega _{{s}}}^{4}\\ -3703500\,{\mu _{{b}}}^ {4}{\mu _{{d}}}^{8}{\omega _{{d}}}^{10}{\omega _{{r}}}^{8}{\omega _{{s}}}^ {6}+5446632\,{\mu _{{b}}}^{4}{\mu _{{d}}}^{8}{\omega _{{d}}}^{8}{\omega _{ {r}}}^{8}{\omega _{{s}}}^{8}\\ -4040916\,{\mu _{{b}}}^{4}{\mu _{{d}}}^{8}{ \omega _{{d}}}^{6}{\omega _{{r}}}^{8}{\omega _{{s}}}^{10}+1172041\,{\mu _{ {b}}}^{4}{\mu _{{d}}}^{8}{\omega _{{d}}}^{4}{\omega _{{r}}}^{8}{\omega _{{ s}}}^{12}\\ +5368\,{\mu _{{b}}}^{3}{\mu _{{d}}}^{9}{\omega _{{d}}}^{18}{ \omega _{{r}}}^{6}-83776\,{\mu _{{b}}}^{3}{\mu _{{d}}}^{9}{\omega _{{d}}}^ {16}{\omega _{{r}}}^{6}{\omega _{{s}}}^{2}\\ +539772\,{\mu _{{b}}}^{3}{\mu _{ {d}}}^{9}{\omega _{{d}}}^{14}{\omega _{{r}}}^{6}{\omega _{{s}}}^{4}- 1851750\,{\mu _{{b}}}^{3}{\mu _{{d}}}^{9}{\omega _{{d}}}^{12}{\omega _{{r} }}^{6}{\omega _{{s}}}^{6}\\ +3631088\,{\mu _{{b}}}^{3}{\mu _{{d}}}^{9}{ \omega _{{d}}}^{10}{\omega _{{r}}}^{6}{\omega _{{s}}}^{8}-4040916\,{\mu _{ {b}}}^{3}{\mu _{{d}}}^{9}{\omega _{{d}}}^{8}{\omega _{{r}}}^{6}{\omega _{{ s}}}^{10}\\ +2344082\,{\mu _{{b}}}^{3}{\mu _{{d}}}^{9}{\omega _{{d}}}^{6}{ \omega _{{r}}}^{6}{\omega _{{s}}}^{12}-542444\,{\mu _{{b}}}^{3}{\mu _{{d}} }^{9}{\omega _{{d}}}^{4}{\omega _{{r}}}^{6}{\omega _{{s}}}^{14}\\ +671\,{\mu _{{b}}}^{2}{\mu _{{d}}}^{10}{\omega _{{d}}}^{20}{\omega _{{r}}}^{4}-11968 \,{\mu _{{b}}}^{2}{\mu _{{d}}}^{10}{\omega _{{d}}}^{18}{\omega _{{r}}}^{4} {\omega _{{s}}}^{2}\\ +89962\,{\mu _{{b}}}^{2}{\mu _{{d}}}^{10}{\omega _{{d}} }^{16}{\omega _{{r}}}^{4}{\omega _{{s}}}^{4}-370350\,{\mu _{{b}}}^{2}{\mu _{{d}}}^{10}{\omega _{{d}}}^{14}{\omega _{{r}}}^{4}{\omega _{{s}}}^{6}\\ + 907772\,{\mu _{{b}}}^{2}{\mu _{{d}}}^{10}{\omega _{{d}}}^{12}{\omega _{{r} }}^{4}{\omega _{{s}}}^{8}-1346972\,{\mu _{{b}}}^{2}{\mu _{{d}}}^{10}{ \omega _{{d}}}^{10}{\omega _{{r}}}^{4}{\omega _{{s}}}^{10}\\ +1172041\,{\mu _ {{b}}}^{2}{\mu _{{d}}}^{10}{\omega _{{d}}}^{8}{\omega _{{r}}}^{4}{\omega _ {{s}}}^{12}-542444\,{\mu _{{b}}}^{2}{\mu _{{d}}}^{10}{\omega _{{d}}}^{6}{ \omega _{{r}}}^{4}{\omega _{{s}}}^{14}\\ +102091\,{\mu _{{b}}}^{2}{\mu _{{d}} }^{10}{\omega _{{d}}}^{4}{\omega _{{r}}}^{4}{\omega _{{s}}}^{16}+225\,{ \mu _{{b}}}^{10}\mu _{{d}}{\omega _{{d}}}^{2}{\omega _{{r}}}^{20}{\omega _{ {s}}}^{2}\\ +2025\,{\mu _{{b}}}^{9}{\mu _{{d}}}^{2}{\omega _{{d}}}^{4}{ \omega _{{r}}}^{18}{\omega _{{s}}}^{2}-4050\,{\mu _{{b}}}^{9}{\mu _{{d}}}^ {2}{\omega _{{d}}}^{2}{\omega _{{r}}}^{18}{\omega _{{s}}}^{4}\\ +8100\,{\mu _ {{b}}}^{8}{\mu _{{d}}}^{3}{\omega _{{d}}}^{6}{\omega _{{r}}}^{16}{\omega _ {{s}}}^{2}-32400\,{\mu _{{b}}}^{8}{\mu _{{d}}}^{3}{\omega _{{d}}}^{4}{ \omega _{{r}}}^{16}{\omega _{{s}}}^{4}\\ +30825\,{\mu _{{b}}}^{8}{\mu _{{d}}} ^{3}{\omega _{{d}}}^{2}{\omega _{{r}}}^{16}{\omega _{{s}}}^{6}+18900\,{ \mu _{{b}}}^{7}{\mu _{{d}}}^{4}{\omega _{{d}}}^{8}{\omega _{{r}}}^{14}{ \omega _{{s}}}^{2}\\ -113400\,{\mu _{{b}}}^{7}{\mu _{{d}}}^{4}{\omega _{{d}}} ^{6}{\omega _{{r}}}^{14}{\omega _{{s}}}^{4}+215776\,{\mu _{{b}}}^{7}{\mu _ {{d}}}^{4}{\omega _{{d}}}^{4}{\omega _{{r}}}^{14}{\omega _{{s}}}^{6}\\ - 129150\,{\mu _{{b}}}^{7}{\mu _{{d}}}^{4}{\omega _{{d}}}^{2}{\omega _{{r}}} ^{14}{\omega _{{s}}}^{8}+28350\,{\mu _{{b}}}^{6}{\mu _{{d}}}^{5}{\omega _{ {d}}}^{10}{\omega _{{r}}}^{12}{\omega _{{s}}}^{2}\\ -226800\,{\mu _{{b}}}^{6 }{\mu _{{d}}}^{5}{\omega _{{d}}}^{8}{\omega _{{r}}}^{12}{\omega _{{s}}}^{4 }+647332\,{\mu _{{b}}}^{6}{\mu _{{d}}}^{5}{\omega _{{d}}}^{6}{\omega _{{r} }}^{12}{\omega _{{s}}}^{6}\\ -774918\,{\mu _{{b}}}^{6}{\mu _{{d}}}^{5}{ \omega _{{d}}}^{4}{\omega _{{r}}}^{12}{\omega _{{s}}}^{8}+324900\,{\mu _{{ b}}}^{6}{\mu _{{d}}}^{5}{\omega _{{d}}}^{2}{\omega _{{r}}}^{12}{\omega _{{ s}}}^{10}\\ +28350\,{\mu _{{b}}}^{5}{\mu _{{d}}}^{6}{\omega _{{d}}}^{12}{ \omega _{{r}}}^{10}{\omega _{{s}}}^{2}-283500\,{\mu _{{b}}}^{5}{\mu _{{d}} }^{6}{\omega _{{d}}}^{10}{\omega _{{r}}}^{10}{\omega _{{s}}}^{4}\\ +1078896 \,{\mu _{{b}}}^{5}{\mu _{{d}}}^{6}{\omega _{{d}}}^{8}{\omega _{{r}}}^{10}{ \omega _{{s}}}^{6}-1937358\,{\mu _{{b}}}^{5}{\mu _{{d}}}^{6}{\omega _{{d}} }^{6}{\omega _{{r}}}^{10}{\omega _{{s}}}^{8}\\ +1624637\,{\mu _{{b}}}^{5}{ \mu _{{d}}}^{6}{\omega _{{d}}}^{4}{\omega _{{r}}}^{10}{\omega _{{s}}}^{10} -502200\,{\mu _{{b}}}^{5}{\mu _{{d}}}^{6}{\omega _{{d}}}^{2}{\omega _{{r}} }^{10}{\omega _{{s}}}^{12}\\ +18900\,{\mu _{{b}}}^{4}{\mu _{{d}}}^{7}{\omega _{{d}}}^{14}{\omega _{{r}}}^{8}{\omega _{{s}}}^{2}-226800\,{\mu _{{b}}}^{ 4}{\mu _{{d}}}^{7}{\omega _{{d}}}^{12}{\omega _{{r}}}^{8}{\omega _{{s}}}^{ 4}\\ +1078910\,{\mu _{{b}}}^{4}{\mu _{{d}}}^{7}{\omega _{{d}}}^{10}{\omega _{ {r}}}^{8}{\omega _{{s}}}^{6}-2583270\,{\mu _{{b}}}^{4}{\mu _{{d}}}^{7}{ \omega _{{d}}}^{8}{\omega _{{r}}}^{8}{\omega _{{s}}}^{8}\\ +3249685\,{\mu _{{ b}}}^{4}{\mu _{{d}}}^{7}{\omega _{{d}}}^{6}{\omega _{{r}}}^{8}{\omega _{{s }}}^{10}-2009374\,{\mu _{{b}}}^{4}{\mu _{{d}}}^{7}{\omega _{{d}}}^{4}{ \omega _{{r}}}^{8}{\omega _{{s}}}^{12}\\ +468675\,{\mu _{{b}}}^{4}{\mu _{{d}} }^{7}{\omega _{{d}}}^{2}{\omega _{{r}}}^{8}{\omega _{{s}}}^{14}+8100\,{ \mu _{{b}}}^{3}{\mu _{{d}}}^{8}{\omega _{{d}}}^{16}{\omega _{{r}}}^{6}{ \omega _{{s}}}^{2}\\ -113400\,{\mu _{{b}}}^{3}{\mu _{{d}}}^{8}{\omega _{{d}}} ^{14}{\omega _{{r}}}^{6}{\omega _{{s}}}^{4}+647360\,{\mu _{{b}}}^{3}{\mu _ {{d}}}^{8}{\omega _{{d}}}^{12}{\omega _{{r}}}^{6}{\omega _{{s}}}^{6}\\ - 1937610\,{\mu _{{b}}}^{3}{\mu _{{d}}}^{8}{\omega _{{d}}}^{10}{\omega _{{r} }}^{6}{\omega _{{s}}}^{8}+3250370\,{\mu _{{b}}}^{3}{\mu _{{d}}}^{8}{ \omega _{{d}}}^{8}{\omega _{{r}}}^{6}{\omega _{{s}}}^{10}\\ -3015496\,{\mu _{ {b}}}^{3}{\mu _{{d}}}^{8}{\omega _{{d}}}^{6}{\omega _{{r}}}^{6}{\omega _{{ s}}}^{12}+1407469\,{\mu _{{b}}}^{3}{\mu _{{d}}}^{8}{\omega _{{d}}}^{4}{ \omega _{{r}}}^{6}{\omega _{{s}}}^{14}\\ -248850\,{\mu _{{b}}}^{3}{\mu _{{d}} }^{8}{\omega _{{d}}}^{2}{\omega _{{r}}}^{6}{\omega _{{s}}}^{16}+2025\,{ \mu _{{b}}}^{2}{\mu _{{d}}}^{9}{\omega _{{d}}}^{18}{\omega _{{r}}}^{4}{ \omega _{{s}}}^{2}\\ -32400\,{\mu _{{b}}}^{2}{\mu _{{d}}}^{9}{\omega _{{d}}}^ {16}{\omega _{{r}}}^{4}{\omega _{{s}}}^{4}+215796\,{\mu _{{b}}}^{2}{\mu _{ {d}}}^{9}{\omega _{{d}}}^{14}{\omega _{{r}}}^{4}{\omega _{{s}}}^{6}\\ - 775170\,{\mu _{{b}}}^{2}{\mu _{{d}}}^{9}{\omega _{{d}}}^{12}{\omega _{{r}} }^{4}{\omega _{{s}}}^{8}+1625870\,{\mu _{{b}}}^{2}{\mu _{{d}}}^{9}{\omega _{{d}}}^{10}{\omega _{{r}}}^{4}{\omega _{{s}}}^{10}\\ -2012244\,{\mu _{{b}}} ^{2}{\mu _{{d}}}^{9}{\omega _{{d}}}^{8}{\omega _{{r}}}^{4}{\omega _{{s}}}^ {12}+1410357\,{\mu _{{b}}}^{2}{\mu _{{d}}}^{9}{\omega _{{d}}}^{6}{\omega _ {{r}}}^{4}{\omega _{{s}}}^{14}\\ -499930\,{\mu _{{b}}}^{2}{\mu _{{d}}}^{9}{ \omega _{{d}}}^{4}{\omega _{{r}}}^{4}{\omega _{{s}}}^{16}+66375\,{\mu _{{b }}}^{2}{\mu _{{d}}}^{9}{\omega _{{d}}}^{2}{\omega _{{r}}}^{4}{\omega _{{s} }}^{18}\\ +225\,\mu _{{b}}{\mu _{{d}}}^{10}{\omega _{{d}}}^{20}{\omega _{{r}} }^{2}{\omega _{{s}}}^{2}-4050\,\mu _{{b}}{\mu _{{d}}}^{10}{\omega _{{d}}}^ {18}{\omega _{{r}}}^{2}{\omega _{{s}}}^{4}\\ +30832\,\mu _{{b}}{\mu _{{d}}}^{ 10}{\omega _{{d}}}^{16}{\omega _{{r}}}^{2}{\omega _{{s}}}^{6}-129258\,\mu _{{b}}{\mu _{{d}}}^{10}{\omega _{{d}}}^{14}{\omega _{{r}}}^{2}{\omega _{{s }}}^{8}\\ +325585\,\mu _{{b}}{\mu _{{d}}}^{10}{\omega _{{d}}}^{12}{\omega _{{ r}}}^{2}{\omega _{{s}}}^{10}-504496\,\mu _{{b}}{\mu _{{d}}}^{10}{\omega _{ {d}}}^{10}{\omega _{{r}}}^{2}{\omega _{{s}}}^{12}\\ +473007\,\mu _{{b}}{\mu _ {{d}}}^{10}{\omega _{{d}}}^{8}{\omega _{{r}}}^{2}{\omega _{{s}}}^{14}- 253310\,\mu _{{b}}{\mu _{{d}}}^{10}{\omega _{{d}}}^{6}{\omega _{{r}}}^{2}{ \omega _{{s}}}^{16}\\ +68440\,\mu _{{b}}{\mu _{{d}}}^{10}{\omega _{{d}}}^{4}{ \omega _{{r}}}^{2}{\omega _{{s}}}^{18}-6750\,\mu _{{b}}{\mu _{{d}}}^{10}{ \omega _{{d}}}^{2}{\omega _{{r}}}^{2}{\omega _{{s}}}^{20}\\ +{\mu _{{d}}}^{11 }{\omega _{{d}}}^{18}{\omega _{{s}}}^{6}-18\,{\mu _{{d}}}^{11}{\omega _{{d }}}^{16}{\omega _{{s}}}^{8}+137\,{\mu _{{d}}}^{11}{\omega _{{d}}}^{14}{ \omega _{{s}}}^{10}-574\,{\mu _{{d}}}^{11}{\omega _{{d}}}^{12}{\omega _{{s }}}^{12}\\ +1444\,{\mu _{{d}}}^{11}{\omega _{{d}}}^{10}{\omega _{{s}}}^{14}- 2230\,{\mu _{{d}}}^{11}{\omega _{{d}}}^{8}{\omega _{{s}}}^{16}+2065\,{\mu _{{d}}}^{11}{\omega _{{d}}}^{6}{\omega _{{s}}}^{18}\\ -1050\,{\mu _{{d}}}^{ 11}{\omega _{{d}}}^{4}{\omega _{{s}}}^{20}+225\,{\mu _{{d}}}^{11}{\omega _ {{d}}}^{2}{\omega _{{s}}}^{22} \end{array}\right) \end{aligned} \end{aligned}$$

(A.5)

$$\begin{aligned} \begin{aligned}&\zeta _{2}= 220\,{\mu _{{b}}}^{2}{\omega _{{r}}}^{2} \\&\left( \begin{array}{cc} \left( \begin{array}{cc} {\omega _{{d}}}^{ 10}-9\,{\omega _{{s}}}^{2}{\omega _{{d}}}^{8}+28\,{\omega _{{s}}}^{4}{ \omega _{{d}}}^{6}\\ -35\,{\omega _{{s}}}^{6}{\omega _{{d}}}^{4}+15\,{\omega _{{s}}}^{8}{\omega _{{d}}}^{2}-{\omega _{{s}}}^{10} \end{array}\right) {\mu _{{d}}}^ {5}\\ +5\,\mu _{{b}}{\omega _{{r}}}^{2} \left( \begin{array}{cc} {\omega _{{d}}}^{8}-{\frac{ 36\,{\omega _{{s}}}^{2}{\omega _{{d}}}^{6}}{5}}+{\frac{84\,{\omega _{{s} }}^{4}{\omega _{{d}}}^{4}}{5}}\\ -14\,{\omega _{{s}}}^{6}{\omega _{{d}}}^{2} +3\,{\omega _{{s}}}^{8}\end{array} \right) {\mu _{{d}}}^{4}\\ +10\, \left( {\omega _{{d }}}^{6}-{\frac{27\,{\omega _{{s}}}^{2}{\omega _{{d}}}^{4}}{5}}+{\frac{ 42\,{\omega _{{s}}}^{4}{\omega _{{d}}}^{2}}{5}}-7/2\,{\omega _{{s}}}^{6} \right) {\mu _{{b}}}^{2}{\omega _{{r}}}^{4}{\mu _{{d}}}^{3}\\ +10\,{\mu _{{b }}}^{3}{\omega _{{r}}}^{6} \left( {\omega _{{d}}}^{4}-{\frac{18\,{ \omega _{{s}}}^{2}{\omega _{{d}}}^{2}}{5}}+{\frac{14\,{\omega _{{s}}}^{4 }}{5}} \right) {\mu _{{d}}}^{2}\\ +5\,{\mu _{{b}}}^{4} \left( {\omega _{{d}} }^{2}-9/5\,{\omega _{{s}}}^{2} \right) {\omega _{{r}}}^{8}\mu _{{d}}+{\mu _{{b}}}^{5}{\omega _{{r}}}^{10} \end{array}\right) ^{2}{\omega _{{s}}}^{2} \end{aligned} \end{aligned}$$

(A.6)