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Majorations explicites des fonctions de Hilbert–Samuel géométrique et arithmétique

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Résumé

En utilisant l’approche de \(\mathbb R\)-filtration en géométrie d’Arakelov, on établit des majorations explicites des fonctions de Hilbert–Samuel géométrique et arithmétique pour les fibrés inversibles sur une variété projective et les fibrés inversibles hermitiens sur une variété projective arithmétique.

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Notes

  1. La convergence de cette suite a été démontrée dans [10]. On peut aussi la déduire du théorème de Fujita arithmétique [12, 40].

  2. En effet, l’homomorphisme naturel de \(E_{n,{{\mathrm{des}}}}\otimes E_{m,{{\mathrm{des}}}}\) vers \(E_{n+m}\) est non-nul. En outre, le corollaire 2.7 montre que \(E_{n,{{\mathrm{des}}}}\otimes E_{m,{{\mathrm{des}}}}\) est semi-stable de pente \(\mu _{\max }(E_n)+\mu _{\max }(E_m)\). On obtient donc l’inégalité souhaitée.

  3. C’est-à-dire que \(E_n\) est l’image de l’homomorphisme \(\varphi ^*(V_n)\rightarrow \pi _*(L^{\otimes n})\) induit par l’inclusion \(V_n\rightarrow H^0(X,L^{\otimes n})=\varphi _*(\pi _*(L^{\otimes n}))\) via l’adjonction entre les foncteurs \(\varphi _*\) et \(\varphi ^*\), où \(\varphi :C\rightarrow {{\mathrm{Spec\,}}}k\) désigne le morphisme structurel.

  4. Cela provient d’un analogue dans le cadre de corps de fonction du corollaire 4.8 de [44]. On peut suivre la stratégie de loc. cit.. La démonstration est plus simple car les places archimédienne ne se manifestent pas dans le problème.

  5. Ici la platitude est équivalente à la surjectivité du morphisme, cf. [30, proposition 4.3.9].

  6. cf. la définition 3.9 pour la construction de \(\mu _{\max }^{p_0}(V_{\scriptscriptstyle \bullet })\).

  7. D’après la remarque 3.7, on a \(\mu _{\max }(E_1)\leqslant \mu _{\max }^{\mathrm{asy}}(E_{\scriptscriptstyle \bullet })=\mu _0\). Donc \(W_1^t=\{0\}\) lorsuqe \(t>\mu _0\).

  8. Soit \(\overline{E}=(E,(\Vert .\Vert _v)_{v\in M_K})\) un fibré vectoriel adélique sur \({{\mathrm{Spec\,}}}K\). Pour toute place non-archimédienne \(\mathfrak p\), la norme \(\Vert .\Vert _{\mathfrak p}\) est dite pure si l’image de sa restriction à \(E\) s’identifie à l’image de la valeur absolue \(|.|_{\mathfrak p}:K\rightarrow \mathbb R\).

  9. Dans son exposé au colloque “Arakelov theory and its arithmetic applications.” le 22 février 2010 à Regensbourg.

  10. Comme on considère les minima absolus, le défaut de pureté est anodin ici.

  11. Si on fixe un isomorphisme d’espaces vectoriels \(\phi :E\rightarrow K^n\), où \(n={{\mathrm{rg}}}_K(E)\), alors le degré d’Arakelov de \(\overline{E}\) est défini comme

    $$\begin{aligned} {{\mathrm{\widehat{\deg }}}}(\overline{E})=\ln \frac{\mathrm{vol}(\phi (\mathbb B(\overline{E})))}{\mathrm{vol}(\mathbb B(\overline{K}^n))}, \end{aligned}$$

    où \(\mathbb B(.)\) désigne la boule unité adélique, et \(\mathrm{vol}\) désigne une mesure de Haar sur l’espace adélique \(\mathbb A_K^n\). Cette définition ne dépend pas du choix de \(\phi \) et \(\mathrm{vol}\).

  12. On renvoie les lecteurs dans [16, §4] pour les détails.

  13. Le passage à une modification birationnelle augement éventuellement \(\widehat{h}^0(\pi _*(\overline{\fancyscript{L}}))\) ou la somme des minima logarithmiques positifs, mais laisse \(\widehat{\mathrm{vol}}(\overline{\fancyscript{L}})\) invariant. Dans le cas général, quitte à passer à une modification birationnelle, on peut se ramener au cas où \(\fancyscript{X}_{\mathbb {Q}}\) admet un tour de fibrations sur courbes.

  14. Rappelons qu’un élément dans \(\mathbb P(E^\vee )_k(K)\) correspond à un sous-espace \(K\)-vectoriel de rang \(1\) de \(E_{K}\).

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Remerciements

Je voudrais remercier Éric Gaudron pour des remarques qui m’ont beaucoup aidé à améliorer la rédaction de l’article. Pendant la préparation et la rédaction de l’article, j’ai bénéficié des discussions avec Sebastien Boucksom, je tiens à lui exprimer mes gratitudes. Je suis aussi reconnaissant à **nyi Yuan et Tong Zhang pour m’avoir communiqué leur article et pour des discussions très intéressantes. Enfin, je voudrais remercier le rapporteur anonyme pour sa lecture soigneuse de l’article et pour ses suggestions précieuses. Ce travail a été soutenu par le fond de recherche NSFC11271021.

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  1. Institut Fourier (UMR 5582), Université Grenoble Alpes, 38402, Saint Martin d’Hères, France

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  1. Huayi Chen
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Chen, H. Majorations explicites des fonctions de Hilbert–Samuel géométrique et arithmétique. Math. Z. 279, 99–137 (2015). https://doi.org/10.1007/s00209-014-1359-6

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