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Symmetries and Logical Visibility One More Time
My aim in this book was to explain the concept of mathematical structure and to show examples of techniques that are used to study them. It would be...
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Where Do Structures Come From?
The compactness theorem, Theorem 11.2, is one of the most frequently used basic tools of model theory. It implies that for every structure with an...
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Logical Seeing
This chapter serves as an interlude. Our goal in the following chapters is to show how tools of logic can used to uncover essential features of...
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What Is a Number?
In Chap. 1 , we used addition and multiplication of the natural numbers to introduce first-order...
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Relations
All further discussion will be based on a formal definition of relation, given in Definition 7.1. Then, in Definition 7.2, we introduce the central...
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Grundbegriffe der linearen Algebra
Die lineare Algebra (oder Vektoralgebra) ist ein wichtiges Teilgebiet der Algebra. Sie entwickelte sich unter anderem aus der algebraischen...
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Spezielle Funktionen
In Abschnitt 1.4 haben wir Funktionen als spezielle Relationen eingeführt und auch einige Sprech- und Schreibweisen festgelegt. Bisher haben wir...
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Allgemeine direkte Produkte und Datenstrukturen
In Abschnitt 1.4 haben wir direkte Produkte M × N als Mengen von Paaren (a, b) von Objekten eingeführt. Paare bestehen aus genau zwei Komponenten. In...
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Anwendung: Spezifikation und Programmverifikation
Eine der Hauptaufgaben der Informatik ist das Entwerfen von Algorithmen, also von effektiv ausführbaren Verfahren, die eine bestimmte Klasse von...
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Mathematical Logic On Numbers, Sets, Structures, and Symmetry
This textbook is a second edition of the successful, Mathematical Logic: On Numbers, Sets, Structures, and Symmetry. It retains the original two...
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Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie
Wahrscheinlichkeiten und Methoden der Statistik spielen in der Informatik eine immer größere Rolle. Am Ende von Kapitel 10 werden wir skizzieren, wie...
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Anwendung: Generische Programmierung
Abstraktion und Wiederverwendung sind zwei bestimmende Faktoren beim mathematischen Arbeiten. Bei einer Abstraktion versucht man, durchWeglassen von...
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Elementare Kombinatorik und ungerichtete Graphen
Im letzten Abschnitt des vorhergehenden Kapitels wurden gerichtete Graphen behandelt. Dies sind im Prinzip nichts anderes als Relationen auf...
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First-Order Logic
This book is about a formal approach to mathematical structures. Formal methods are by their very nature formal. When studying mathematical logic,...
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Seeing the Number Structures
In the previous chapter, we introduced and named an actually infinite set. The set of natural numbers...
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First-Order Properties
A first-order property of a structure is a property that can be expressed by a formula of first-order logic. Many properties are first-order but some...
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Logical Inference
This book is about mathematical logic, but so far the discussion has focused only on first-order logic as a formal language in which properties of...
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Set Theory
In previous chapters we introduced mathematical structures, and we followed with a detailed description of basic number structures. Now it is time to...
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Points, Lines, and the Structure of \({ \mathbb {R}}\)
In the previous chapter we saw how a large portion of mathematics can be formalized in first-order logic. The very fact that the construction of the...
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Symmetry and Definability
In this final chapter we will discuss connections between definability in first-order logic and in...