The conformal invariance in quantum field theory

Summary

The properties of a conformal invariant quantum field theory are considered. A short discussion of the conformal group in four dimensions and of the topology, introduced into the pseudo-euclidean space by this group is given. With the help of the commutation relations the spectrum of the generators in Hilbert-space is investigated. We find that the only possible discrete eigenvalue ofP ² and of theP ^v’s is zero and that the generator for scale transformationsS has a continuous spectrum. The eigenfunctions ofS in thex-representation are calculated, they form a complete set. The conservation laws valid in an invariant theory and the commutation relations predict a certain form of the conserved quantities expressed in terms of the energy-momentum tensor and of the co-ordinates. For scalar, spinor and vector fields the generators are derived by the action principle of Schwinger.

Riassunto

Si considerano le proprietà di una teoria conforme invariante del campo quantizzato. Si fa una breve discussione sul gruppo conforme nelle quattro dimensioni e sulla topologia, introdotta da questo gruppo nello spazio pseudo-euclideo. Con l’aiuto delle relazioni di commutazione si esamina lo spettro dei generatori nello spazio Hilbertiano. Si trova che il solo possibile autovalore discreto diP ² e deiP ^v è zero e che il generatore per trasformazioni di scala ha uno spettro continuo. Si calcolano le autofunzioni diS nella rappresentazionex, che formano un gruppo completo. Le leggi di conservazione valide in una teoria invariante e le relazioni di commutazione predicono una certa forma delle quantità conservate espresse in termini del tensore energiamomento e delle coordinate. Per i campi scalari, spinoriali e vettoriali si derivano i generatori col principio di azione di Schwinger.