Abstract
Luigi Cremona is considered the founder of the Italian school of algebraic geometry. He formed a group of students of great value, very active in scientific research. Examining the letters from Eugenio Bertini, Ettore Caporali, and Riccardo De Paolis to Cremona preserved in the archive of the Istituto Mazziniano in Genoa, we have reconstructed their biographies, careers, studies, and relationships with their teacher. They had the merit of cultivating the scientific innovations of the period and passing them on to the subsequent generations.
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Notes
- 1.
“Per dar vita ad una scuola non basta il valore del maestro, né basta che egli sappia tracciare un piano di ricerche così vasto da superare la propria forza di lavoro. Occorre altresì che egli riesca a comunicare la sua passione e la sua fede ai discepoli e sappia esigerne e dirigerne la collaborazione. Queste doti possedeva in grado eminente Luigi Cremona. Raccontano gli allievi che ebbero la fortuna di ascoltarlo quando egli era nel pieno fervore della ricerca, che l’entusiasmo per le questioni da lui esposte traspariva durante la lezione e si trasmetteva all’uditorio rendendolo partecipe del godimento della scoperta. Con la forza di volontà, che era una sua dote precipua, suggestionava i giovani e li attirava verso l’indirizzo da lui prediletto. Tali furono questa forza e questa fede che noi stessi della seconda generazione ne subimmo la influenza, trasmessaci dai discepoli diretti.”
- 2.
“Con queste poche righe ti raccomando il giovane Eugenio Bertini di Forlì. È un giovane a me assai caro per le egregie sue qualità: ha molto ingegno e molto desiderio di imparare; se, come non dubito, egli persevera, riuscirà qualche cosa di diverso dall’ordinario. Ha fatto l’altr’ieri un esame di geometria superiore che è durato più di un’ora e che ha fatto meravigliare il professore Grassmann ch’era presente. Ma disgraziatamente il Bertini sa poco o nulla di analisi: e viene a Pisa appunto per studiare algebra, calcolo, ecc. Ti prego caldissimamente di assisterlo e consigliarlo. Presentalo, anche a nome mio, al Novi, al Dini, a chi gli può giovare.”
- 3.
“Come già le sarà noto, per la tesi di Normale seguitai quelle cose sui poliedri di cui le scrissi in una mia precedente, apportandovi varie modificazioni. Il Pr. Betti e il Dini non ne rimasero scontenti ed essi medesimi mi dissero che si sarebbero adoperati onde venissero pubblicate negli annali di matematica.”
- 4.
E. Bertini, Nuova dimostrazione del teorema: due curve punteggiate projettivamente sono dello stesso genere, Giornale di Matematiche, 7, 1869, pp. 105–106.
- 5.
“A me fu affidato l’incarico dell’insegnamento della Geometria descrittiva e anche questo fu approvato dal consiglio superiore. Le confesso che questo incarico mi fa molto piacere e mi reca moltissima soddisfazione. So che anche di ciò io debbo avere molta gratitudine a Lei che volle scrivere a Roma parole che io dubito di meritare.”
- 6.
- 7.
With regard to the historical aspects of the Cremona transformations, see [14].
- 8.
“La ringrazio altresì della inserzione del mio lavoretto negli Annali [15]. Pensando in questi giorni alla questione generale mi sono accorto che mancava la trattazione di alcuni casi. Cioè, quando esiste la curva unita Γ, questa può essere d’ordine n con un punto (n − 1)plo e può spezzarsi in parti: e può anche darsi che esista una sola retta punteggiata unita. Ho ormai condotto a termine lo studio di questi tre casi, ne’ quali non s’incontrano gravi difficoltà, e mi pare che tutti tre si deducano dall’omologia armonica con ripetute trasformazioni quadratiche. Queste aggiunte le farò nelle bozze di stampa, giacché, per quello che le ho spedito, non vi sono modifiche di gran rilievo. Però voglia usarmi la cortesia di rivedere le seconde bozze. Cercherò di essere sicuro di ciò che faccio: ma, a dirle il vero, l’esperienza mi ha insegnato a diffidare assai e sarei assai più tranquillo se a queste aggiunte (nelle quali c’è qualche considerazione delicata) Ella volesse dare una occhiata.”
- 9.
“Ho letto una memoria del Prof. Bertini sulle trasformazioni di Jonquières che sono anche involutorie. Mi pare che la considerazione di altri casi dello stesso problema, possa essere interessante. Quando facevo la mia tesi mi si era presentata un’altra classe di trasformazioni involutive, ed è la seguente. Fissata nel piano una rete di curve d’ordine n e di genere uno le quali abbiano in comune tanti punti fissi da assorbire n − 2 intersezioni (lo che è possibile in generale in più maniere), tutte le curve che passano per un punto preso ad arbitrio nel piano, passano anche per un altro punto che si può prendere come corrispondente al primo. Il caso più semplice (per n = 3) mi ha servito nella mia tesi.”
- 10.
“Indicare tutte le possibili trasformazioni involutorie del piano, che sono irriducibili, cioè non possono dedursi l’una dall’altra per una serie di trasformazioni quadratiche o, ciò che è lo stesso, per una trasformazione univoca.”
- 11.
“Considerazioni di altra specie m’indurrebbero a pensare che a questi casi possano ridursi tutte le possibili trasformazioni involutorie del piano. Però una dimostrazione rigorosa di tale proprietà non mi è riuscita. Le difficoltà provengono soprattutto dalla considerazione di quei casi ne’ quali le curve fondamentali si spezzano, e quindi cessano di essere vere parecchie proprietà che sussistono in generale.”
- 12.
“Dopo aver consegnato il presente lavoro alla Direzione degli Annali, seppi che il prof. Cremona aveva già osservata questa proprietà e comunicatala per lettera al dott. Caporali.”
- 13.
E. Bertini, Una nuova proprietà delle curve di ordine n con un punto (n-2)-plo, Trasunti della Reale Accademia Nazionale dei Lincei, (3), 1, 1876–77, pp. 92–96 and Sulle curve razionali per le quali si possono assegnare arbitrariamente i punti multipli, Giornale di Matematiche, 15, 1877, pp. 329–335.
- 14.
“Il Pr. Betti, ritornando da Roma, mi ha comunicato di averle manifestato il desiderio che io aveva di chiedere la titolarità di Geometria superiore e mi ha soggiunto che Ella credeva invece più opportuno che io domandassi la titolarità di Geometria projettiva. Ora è su ciò che io oserei scriverle alcune considerazioni. Anzitutto il Betti mi ha assicurato che Ella ha abbandonato in modo definitivo il proposito di venire a Pisa. Per conseguenza insieme all’insegnamento di Geometria projettiva, dovrei assumere anche quello di Geometria superiore. D’altra parte non Le nascondo che a quest’ultimo insegnamento io tengo assai, perché da esso traggo molta soddisfazione e vigoria ne’ miei studï. Sicché mi troverei impegnato nell’insegnamento per lo meno quanto ora, mentre è uno de’ miei desideri di riuscire a limitare l’estensione delle mie occupazioni onde rendere queste più fruttuose che sia possibile. Ma, lasciando a parte una tale considerazione, non Le nego che, ricevendo la comunicazione del Betti, sono rimasto veramente sconfortato. Ho pensato che, dopo tre anni di straordinariato di Geometria superiore e dopo avere lavorato colla maggiore intensità possibile, io sarei riuscito soltanto a meritarmi la titolarità della Geometria proiettiva. Ho pensato che di questa titolarità io era già giudicato degno un anno fà nel rapporto della Commissione pel concorso di Napoli e che da quell’epoca ho continuato a lavorare sia per l’insegnamento, sia per la scienza. Io non so se Ella abbia data un’occhiata alle mie Ricerche: ma, se non m’illude l’amore di padre, giudico che quelle ricerche (posteriori al concorso di Napoli) debbano essere tenute in qualche conto, prescindendo dalle due noticine pei Lincei e pel Giornale di Napoli (pure posteriori al suddetto concorso) che sono da riguardare come conseguenza delle medesime Ricerche. Io sono persuaso che, se Ella vorrà usarmi la gentilezza di esaminare attentamente questo lavoro troverà (mi duole di entrare in cosifatti particolari, ma per il mio assunto non ne posso a meno) che il problema propostomi non era affatto semplice, che non poteva prevedersi a priori la via opportuna a risolverlo, che il metodo seguito è (almeno credo) nuovo e applicabile in ricerche analoghe e che infine dei risultati trovati parecchi sono (o m’inganno) interessanti. Vero che il problema non fu interamente risoluto, ma Ella riconoscerà che mi sono avvicinato assai alla soluzione; e non dispero di compierla riprendendo in avvenire quelle ricerche.”
- 15.
M. Noether, Über die ein-zweideutigen Ebenentransformationen, Erlangener Berichte, 10, 1878, p. 81.
- 16.
J. Lüroth, Rationale Flächen und involutorische Transformationen, Prorektoratsrede, Freiburg, 1889, pp. 1–25.
- 17.
E. Bertini, Sui sistemi lineari, Rendiconti del Reale Istituto Lombardo di Scienze e Lettere, (2), 15, 1882, pp. 24–29; Sulle curve fondamentali dei sistemi lineari di curve piane, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 3, 1889, pp. 5–21 and Sui sistemi lineari di grado zero, Rendiconti della Reale Accademia Nazionale dei Lincei, (5), 10, 1901, pp. 73–76.
- 18.
E. Bertini, La geometria delle serie lineari sopra una curva piana secondo il metodo algebrico, Annali di Matematica pura ed applicata, (2), 22, 1894, pp. 1–40.
- 19.
“Questa monografia ed un’altra contemporanea di Corrado Segre sullo stesso argomento trattato con metodo diverso, hanno divulgato tra noi una teoria che, sorta in Germania, prese poi in Italia nuovi ed ampi sviluppi. Quei due scritti hanno dato l’impulso alle successive ricerche della nostra scuola geometrica.”
- 20.
Printed by decision of the examining commission in the Annali di Matematica pura ed applicata, serie 2°, tomo 7°.
- 21.
L. Cremona, Ueber die Polar-Hexaeder bei den Flächen dritter Ordnung, Mathematischen Annalen, Band XIII, 1878, pp. 301–304.
- 22.
“Mi ha colpito la semplicità della definizione analitica dei suoi esaedri: è poi notevole che essi mettono in relazione le 27 rette col pentaedro di Sylvester per mezzo dei teoremi del Reye: tanto più che è forse possibile, per mezzo delle proprietà delle sviluppabili di terza classe, di dare a questa relazione una forma più semplice di quella che è immediatamente fornita dalla memoria di Reye. Questo argomento mi aveva fatto pensare alla Diagonalfläche di Clebsch: le 15 rette che la determinano sono situate tre a tre in 15 piani; e siccome si assume come punto di partenza un pentaedro (di Sylvester) credevo che le di Lei proprietà potessero fornire una teoria del pentaedro completo. Però mi sono accorto poco dopo che l’esaedro che dovrebbe dedursi dalle 15 rette si perde e con esso quasi tutte le proprietà. Ma delle 60 rette di Pascal avviene che ogni spigolo del pentaedro di Sylvester ne assorbe tre, dimodoché ne rimangono 30: queste ultime meritano forse di essere studiate. Passando da un’idea all’altra ho pensato al problema di assumere sei punti fondamentali in un piano in modo da avere la rappresentazione della Diagonalfläche: l’ho risoluto analiticamente.”
- 23.
E. Caporali, Sull’esaedro completo, Rendiconti della Reale Accademia delle Scienze fisiche e matematiche di Napoli, fascicolo 3°, marzo 1881.
- 24.
L. Cremona, Teoremi stereometrici dai quali si deducono le proprietà dell’esagrammo di Pascal, Memorie della Reale Accademia Nazionale dei Lincei, serie 3, vol. 1, 1876–1877, pp. 854–874.
- 25.
A. Cayley, On Pascal’s theorem, Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, vol. IX, 1868, pp. 348–353.
- 26.
T. Reye, Die Geometrie der Lage, Erste Abtheilung, Carl Rümpler, Hannover, 1866.
- 27.
“Ho cominciato col ripresentare rapidamente la proiettività nelle forme di 1a specie: ripeterò di volo le proprietà principali proiettive delle coniche e poi passerò al vero programma del corso, che consiste nella 2a parte del Reye, arrivando fin dove si potrà.”
- 28.
E. Caporali, Sui complessi e sulle congruenze di secondo grado, Memorie della Reale Accademia Nazionale dei Lincei, s. III, vol. II, 1877–1878, pp. 749–769.
- 29.
E. Caporali, Sopra i piani ed i punti singolari della superficie di Kummer, Memorie della Reale Accademia Nazionale dei Lincei, s. III, vol. II, 1877–1878, pp. 791–810.
- 30.
As it appears in the Rapporti of the Memorie di Matematica e di Fisica della Società Italiana delle Scienze (serie III, vol. IV, pp. XXI–XXIV). The Società Italiana delle Scienze was founded by Antonio Maria Lorgna (1735–1796) in 1782 in Verona as the Società Italiana, comprising 40 scientists from various parts of Italy. For this reason, it was also called Accademia dei XL.
- 31.
“Al principio dell’estate io sono stato indisposto per un leggero riapparire di cardiopalmo nervoso, incontro al quale, se si rammenta, andavo più gravemente soggetto per l’addietro. […] L’anno scolastico testé finito, è stato però quasi perduto pei miei studi se se ne eccettui qualche lettura. Ma c’è di peggio. Ed è che le poche attitudini che prima mi pareva d’avere agli studi, le trovo ora notevolmente diminuite, cosa che mi fa provare grande scoraggiamento, oltre alla mortificazione di trovarmi inferiore ad una posizione che avevo accettato quasi con una certa baldanza.”
- 32.
E. Bertini, Una nuova proprietà delle curve di ordine n con un punto (n-2)-plo, Trasunti della Reale Accademia Nazionale dei Lincei, (3), 1, 1876–77, pp. 92–96.
- 33.
W. Stahl, Das Strahlensystem dritter Ordnung zweiter Klasse, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 91, pp. 1–22.
- 34.
“La prima si riferisce ad un complesso di 6° grado che è il luogo delle tangenti di tutte le cubiche passanti per 5 punti fissi. È un complesso rappresentabile sui punti dello spazio: e la rappresentazione è data dalle superficie del 3° ordine che passano pei 5 punti e pei punti diagonali del pentagono gobbo che essi formano. La seconda nota contiene un teorema sulle tangenti condotte ad una curva piana da un suo punto multiplo. Quando le tangenti si conducono da un punto arbitrario, in generale la prima polare di questo punto è la curva più semplice che passa pei punti di contatto di quelle tangenti. Ma quando il punto è multiplo, vi sono in generale curve di ordine minore e che perciò definiscono più semplicemente i vincoli che legano i punti di contatto. Il mio teorema è molto generale e comprende come caso particolare quello del Bertini che Ella presentò due o tre anni fa ai Lincei. Appena avrò approntate queste due note per la stampa, riprenderò certi studi sui sistemi di rette che interruppi pel servizio militare ma che ora sono stato invogliato a riprendere per la lettura del lavoro di Stahl sui sistemi del 2° ordine e 3° classe pubblicato nell’ultimo fascicolo del giornale di Crelle.”
- 35.
“Considerando la trasformazione birazionale in due piani tra loro coincidenti, trovare le condizioni affinché applicando più volte di seguito la stessa trasformazione, si ritorni alla figura da cui si parte.”
- 36.
Competition report for the Premio accademico of 1882, published in the Rendiconti della Reale Accademia delle Scienze fisiche e matematiche di Napoli, issue 12°, December 1883.
- 37.
“Egli accuorandosi oltre misura della scemata attività del suo ingegno, che a lui sembrava decadenza irrimediabile, rivolse in un momento supremo di tristezza e di sconforto la mano crudele contro sé stesso […]. Importanti ufficii affidatigli dal voto unanime dei colleghi mostravano la grande fiducia da tutti riposta in quel giovane, in cui il senno sembrava avesse precorsa la età, e tutte le cui azioni erano informate dall’amore caldissimo della scienza e dal sentimento di una onestà intemerata.”
- 38.
“Mi diceva che l’intelligenza lo abbandonava, non era più capace di crear nulla, non ritrovava la solita energia mentale per condurre a fine qualsiasi ricerca, si vedeva raggiunto e sorpassato da altri, curiosava intorno a diversi argomenti ma non si sentiva la forza di approfondirne alcuno; vedeva estinguersi in lui il fuoco sacro della Scienza, era scoraggiato.”
- 39.
“Scoraggiamento di cui era invaso il nostro amico negli ultimi anni, per via di una lenta, ma persistente, malattia celebrale che abbassava vieppiù le sue facoltà mentali.”
- 40.
“Suo amatissimo allievo, il migliore dei suoi allievi […]. Raccolsi spesso all’estero delle autorevoli testimonianze di stima sul conto del giovane geometra italiano. I suoi lavori erano più che una promessa. La scuola del Cremona ha perduto uno dei migliori elementi, come uomo di scienza e come professore.”
- 41.
“Ciò che Ella mi scrive intorno ai miei studi sulle curve del quarto ordine è interessante e dimostra che Ella ha immediatamente penetrato lo spirito di quelle ricerche. Per quanto poco avanzate, esse hanno una storia complicata e in relazione con diverse cause estranee alla scienza che m’impediscono da tre anni di attendere allo studio con quella regolarità e quella perseveranza che sole permettono di cavarne buoni frutti. […] Quando Ella pubblicò la sua Memoria sulla geometria delle coniche, vidi immediatamente il partito che si poteva trarre dall’uso sistematico di quel modo di rappresentazione e che mi è confermato dalla sua… lettera: non ripresi però, né potrò subito riprendere le ricerche, benché precisamente ora, avendo acquistata tutta la loro generalità, siano nello stadio più interessante.”
- 42.
De Paolis’ degree thesis Sopra un sistema omaloidico formato da superficie d’ordine n con un punto (n−1)plo was published in the Giornale di Matematiche, 13, 1875, pp. 226–248, 282–297.
- 43.
R. De Paolis, La trasformazione piana doppia di secondo ordine e la sua applicazione alla geometria non euclidea, Memorie della Reale Accademia Nazionale dei Lincei, (3), 2, 1878, pp. 31–50 and La trasformazione piana doppia di terzo ordine, primo genere, e la sua applicazione alle curve del quarto ordine, Memorie della Reale Accademia Nazionale dei Lincei, (3), 2, 1878, pp. 851–878.
- 44.
K. G. C. von Staudt, Geometrie der Lage, Nürnberg Bauer & Raspe, 1847.
- 45.
F. Klein, Über die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie, Mathematische Annalen, 6, 1873, pp. 112–145.
- 46.
M. G. Darboux, Sur le théorème fondamental de la géométrie projective (Extrait d'une lettre à M. Klein), Mathematische Annalen, 17, 1880, pp. 55–61.
- 47.
“Questo lavoro ci dà un primo esempio di una particolare tendenza del De Paolis: quella di risalire sempre ai fondamenti, ai principi delle teorie. Forse questa tendenza egli non aveva da principio. Nell’occasione della laurea il Cremona, dubitando che il De Paolis per occuparsi solo di questioni generali, elevate, trascurasse i casi speciali o le cose più elementari, gli fece intendere che questo era un errore. Il discepolo non dimenticò la lezione del maestro!”
- 48.
R. De Paolis, Elementi di geometria, Torino, E. Loescher, 1884.
- 49.
“Si propose un doppio scopo; abbandonare l’antica separazione della Geometria piana dalla solida, tentare di stabilire rigorosamente le verità fondamentali della Geometria e le teorie dell’equivalenza, dei limiti, della misura.”
- 50.
“Insieme a questa mia le ho spedito due noticine, una, sulle figure equivalenti, che pubblicai l’anno scorso, l’altra sulle involuzioni proiettive, nella quale dimostro un teorema che ho trovato a proposito di alcune ricerche che sto facendo, e delle quali desidero parlarle, sicuro di non recarle noia, perché so che Ella si ricorda sempre affettuosamente di me, che sono ormai un suo antico allievo, e sempre ha tenuto dietro con soddisfazione di maestro alle pubblicazioni mie. Ecco di che cosa si tratta: Mi pare di averle altre volte parlato di una idea fissa che mi perseguita da più anni, dell’idea cioè di emancipare la Geometria dal sussidio dell’Algebra, di fondare la vera Geometria pura. Dopo molte fatiche e molti tentativi inutili, ma giustificati dalla difficoltà dell’argomento, posso finalmente asserire di avere completamente risoluto la quistione. Mi sarebbe impossibile dirle in poche parole la via che ho seguito, il metodo che ho adoperato è completamente nuovo, e non solo risolve il problema che mi ero proposto, ma fornisce anche nuovi risultati e nuove ricerche da fare. Il piano che mi sono proposto è vasto e ho bisogno ancora di molto tempo per svolgerlo completamente. Comincio dalle definizioni della superficie, della linea e del punto, non suppongo alcuna cognizione di Geometria, e dopo alcune considerazioni generali, studio la teoria generale delle corrispondenze tra i punti di due qualunque campi lineari, superficiali o solidi, ponendo per sola condizione la continuità delle corrispondenze stesse. In questa parte il mio lavoro si può considerare come una teoria geometrica delle funzioni continue di 1, 2 o 3 variabili reali, ed infatti dimostro alcuni teoremi geometrici fondamentali, che tengono perfettamente luogo di teoremi fondamentali dell’Analisi, trovati da Weierstrass, Cantor, ecc. Faccio poi vedere che ogni corrispondenza continua [m,n], tra i punti di due superficie, si può sostituire con un’altra [1,1] tra i punti di altre due superficie, che chiamo le superficie di Riemann della corrispondenza data, così acquisto un potente mezzo di ricerca geometrico, mezzo che mi sarà poi utilissimo in seguito e specialmente nello studio delle curve che fin qui si sono chiamate algebriche e che io ancora non so come chiamare; introduco nella Geometria quelle considerazioni che Riemann ha tanto utilizzato nell’Analisi. Poi sono naturalmente condotto a studiare la connessione delle superficie, ecc. ecc. Dopo queste considerazioni così generali, passo a stabilire la Geometria proiettiva, con lo stesso rigore tenuto da Pasch, ma molto più semplicemente. In un certo senso, dopo avere svolto quella parte della Geometria che corrisponde alla teoria generale delle funzioni, passo alla parte che corrisponde allo studio delle funzioni algebriche. La parte che riguarda la Geometria proiettiva la s**o fino alle forme di 2° grado, comprese, considerando anche gli elementi immaginarî, col metodo di Staudt. Faccio poi vedere, fondandomi sopra alcuni risultati dovuti a Thieme, che si possono costruire sistemi ∞n-1 di gruppi di n elementi di una forma fondamentale di 1a specie, tali che un gruppo del sistema sia individuato da n-1 qualunque dei suoi elementi, questi sistemi li chiamo involuzioni di grado n e specie n-1. Dopo uno studio completo di queste involuzioni e dei loro sistemi lineari, dimostro, e qui sta il nodo della quistione, che n di queste involuzioni hanno sempre comune un gruppo di n elementi, reali o immaginari. Passo quindi a studiare le intersezioni di queste involuzioni e trovo così le involuzioni di grado n e specie r ≤ n−1, che sono sistemi lineari ∞r di gruppi di n elementi. Termino questa parte del lavoro dimostrando che due involuzioni, di 1a specie, proiettive e sovrapposte hanno sempre m + n elementi uniti, reali o immaginarî, comuni. Per arrivare a questo risultato, sul quale si può basare tutta la teoria delle curve e delle superficie, applico le proprietà delle corrispondenze continue, che ho dimostrato sul principio. Dalla teoria delle suddette involuzioni sorge naturalmente quella dei gruppi polari. Per ora, riguardo alle curve e superficie, ho veduto solamente come si possono generare, insieme ai loro sistemi lineari, come si può dimostrare che due curve di ordine m, n hanno sempre mn punti comuni, reali o immaginarî, ecc. ecc. In seguito mi s**erò più innanzi e svolgerò col mio metodo sistematicamente tutta la teoria. Ma non mi fermerò qui. Ho pure veduto come si può introdurre il concetto di spazî a più dimensioni, e in modo rigoroso, ricorrendo ad una effettiva rappresentazione nello spazio nostro. Per i campi a più dimensioni stabilisco pure una teoria delle corrispondenze continue, della connessione, ecc., e introduco il concetto di superficie di Riemann a più dimensioni, concetto che poi utilizzo per determinare i generi delle superficie a più dimensioni. Dopo questa parte, che corrisponde allo studio delle funzioni continue di n variabili reali, passo, con metodo analogo a quello tenuto per le due e tre dimensioni, a considerare gli enti che corrispondono alle superficie algebriche. Ella vede quanto è vasto il campo che voglio esplorare; però ho già trovato tutto quello che mi serve per dedurre senza difficoltà le parti rimanenti, in ogni modo la redazione del lavoro mi porterà via ancora molto tempo, e non potrò terminarlo prima della fine dell’anno, per quanto ci lavori assiduamente. Già avevo trovato i risultati principali, quando seppi che una parte del tema che stavo trattando, quella che si riferisce allo stabilire la Geometria delle curve algebriche senza ricorrere all’Algebra, era stata per due volte consecutive messa a concorso dall’Accademia di Berlino, e che l’ultima volta un certo Kötter aveva ricevuto il premio. Ora il lavoro di Kötter non è stato fin qui pubblicato, ho letto la relazione che ne hanno fatta all’Accademia e mi pare che non si sia spinto innanzi come me, e che abbia tenuto un altro metodo, meno rigoroso, ed il rigore in certe quistioni è tutto. In ogni modo per non perdere la priorità ho appuntato, in 6 quinterni, i principali risultati che ho ottenuto, li ho chiusi, sigillati e spediti all’Accademia dei Lincei, perché se ne prenda data. Ho poi pensato di presentare tutto il lavoro al concorso per il premio reale, che scade coll’anno corrente, prima però di decidermi avrei piacere di sentire un suo consiglio. Le pare che l’argomento sia sufficientemente importante, e che, qualora lo avessi bene svolto, non farei una brutta figura anche se non vincessi il premio?”
- 51.
In order to avoid unnecessary repetition, the part selected in bold from the one sent to Cremona has been omitted from this letter.
- 52.
He is referring to the news of the result of the contest for the Steiner prize.
- 53.
“Lessi nei Rendiconti dell’Accademia di Berlino, la relazione del lavoro di Kötter; ho aspettato ansiosamente la sua pubblicazione, ma non so se ancora abbia veduto la luce. […] Sono più anni che mi perseguita l’idea di emancipare la Geometria dal sussidio dell’Algebra, di fondare la vera Geometria pura. Quando seppi la notizia avevo completamente risolto la quistione, non potevo pubblicare subito le mie ricerche, perché ancora non avevo svolto le parti secondarie di tutto il lavoro che mi ero proposto di fare; perciò pensai di aspettare la pubblicazione della Memoria di Kötter, qualunque cosa potesse avvenire, tanto più che dalla relazione fatta su questa Memoria mi pare che Kötter non si sia spinto innanzi come me e che abbia tenuto un altro metodo. […] Ora però il mio lavoro è spinto più innanzi e sono stanco di aspettare; perciò ho appuntato i principali risultati che ho ottenuto in 6 quinterni, e li ho spediti, in un plico sigillato, all’Accademia dei Lincei, perché se ne prenda data. Spero così di arrivare, in ogni caso, in tempo per non perdere la priorità, o almeno poter provare che avevo risoluto il problema indipendentemente dal Kötter. […] Mi pare che il risultato di Kötter, che anche io del resto ho tenuto indipendentemente, in ogni modo sia una delle possibili applicazioni del mio metodo.”
- 54.
R. De Paolis, Teoria dei gruppi geometrici e delle corrispondenze che si possono stabilire tra i loro elementi, Memorie della Società Italiana delle Scienze (detta dei XL), (3), 7, 1890.
- 55.
R. De Paolis, Le corrispondenze proiettive nelle forme geometriche fondamentali, Memorie della Accademia delle Scienze di Torino, (2), 42, 1892, pp. 495–584 and Teoria generale delle corrispondenze proiettive e degli aggruppamenti proiettivi nelle forme fondamentali a due dimensioni, Rendiconti della Reale Accademia Nazionale dei Lincei, (5), 3, 1894, pp. 225–227.
- 56.
“Se l’opera è degna – di ricordare un nome – sia quello illustre – di Luigi Cremona – che nella scienza geometrica – ebbi maestro.”
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Palladino, N., Vaccaro, M.A. (2023). The Genesis of the Italian School of Algebraic Geometry Through the Correspondence Between Luigi Cremona and Some of His Students. In: Bini, G. (eds) Algebraic Geometry between Tradition and Future. INdAM 2021. Springer INdAM Series, vol 53. Springer, Singapore. https://doi.org/10.1007/978-981-19-8281-1_14
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