Der Arbeitsbegriff in der Elastostatik

Zusammenfassung

In vielen Fällen ist es zweckmäßig, Verschiebungen bzw. Verdrehungen oder Kräfte bzw. Momente mit Hilfe von Energiemethoden zu berechnen. Die dafür nötigen Grundgleichungen werden im folgenden Kapitel hergeleitet. Es wird gezeigt, wie man mit ihrer Hilfe auf einfache Weise bei Tragwerken zum Beispiel die Verschiebung an einer bestimmten Stelle bestimmen kann. DieMethoden versetzen uns u. a. auch in die Lage, einzelne Lagerreaktion bei statisch unbestimmten Systemen einfach zu ermitteln. Die Studierenden sollen lernen, diese Methoden zur Lösung von konkreten Problemen anzuwenden.

Zusammenfassung

• Arbeitssatz

  $$W=\Pi\,,$$

  $W=\frac{1}{2}\,Ff$ :

  Arbeit einer eingeprägten Kraft $F$ am linear-elastischen Stab/Balken (analoges gilt für eingeprägtes Moment),

  $\Pi=\frac{1}{2}\int\frac{M^{2}}{EI}\,\mathrm{d}x$ :

  Formänderungsenergie bei Biegung (analoges gilt für Torsion, Zug/Druck).

• Prinzip der virtuellen Kräfte

  • Verschiebung (Verdrehung) unter Biegung (analoges gilt für Torsion und Zug/Druck):

    $$f=\int\frac{M\bar{M}}{EI}\,\mathrm{d}x\,,$$

    $M$ :

    Schnittmoment infolge gegebener Belastung,

    $\bar{M}$ :

    Schnittmoment infolge virtueller Kraft (Moment) „1“.

    Sonderfall Fachwerk:

    $$f=\sum\frac{S_{i}\bar{S}_{i}l_{i}}{EA_{i}}\,.$$

  • Bestimmung der statisch unbestimmten Kraftgröße $X$ beim 1-fach statisch unbestimmten Balken:

    $$X=-\frac{\alpha_{10}}{\alpha_{11}}\,,\quad\alpha_{10}=\int\frac{\bar{M}_{1}M_{0}}{EI}\,\mathrm{d}x\,,\quad\alpha_{11}=\int\frac{\bar{M}_{1}^{2}}{EI}\,\mathrm{d}x\,,$$

    $M_{0}$ :

    Schnittmoment im „0“-System,

    $\bar{M}_{1}$ :

    Schnittmoment im „1“-System.

    Bei einem System unter Biegung, Torsion und Zug/Druck müssen die entsprechenden zusätzlichen Terme berücksichtigt werden.

• Einflusszahlen

  • $\alpha_{ik}$ :

    Verschiebung an der Stelle $i$ infolge einer Last „1“ an der Stelle $k$.

  • Vertauschungssatz von Maxwell:

    $$\alpha_{ik}=\alpha_{ki}\,.$$