Die Treppennormalform und der Rang von Matrizen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel entwickeln wir ein systematisches Verfahren, mit dem jede Matrix, die über einem Körper definiert ist, in eine spezielle Form transformiert werden kann, die wir die Treppennormalform nennen. Die Transformation wird erreicht durch Linksmultiplikation der gegebenen Matrix mit sogenannten Elementarmatrizen. Ist die gegebene Matrix invertierbar, so ist ihre Treppennormalform die Einheitsmatrix und die Inverse kann anhand der Elementarmatrizen einfach berechnet werden. Für eine nicht-invertierbare Matrix ist die Treppennormalform in einem gewissen Sinne „möglichst nahe“ an der Einheitsmatrix. Diese Form motiviert den Begriff des Rangs von Matrizen, den wir in diesem Kapitel ebenfalls einführen und der später noch häufig auftreten wird.

Aufgaben

(In den folgenden Aufgaben ist K stets ein beliebiger Körper.)

• 5.1 Berechnen Sie die Treppennormalformen von

  

  (Die Elemente von $\mathbb Z/ n \mathbb Z$ werden hier der Einfachheit halber mit k anstatt [k] bezeichnet.) Geben Sie die verwendeten Elementarmatrizen an. Ist eine der Matrizen invertierbar? Falls ja, dann berechnen Sie die entsprechende Inverse als Produkt der Elementarmatrizen.

• 5.2 Sei $A = \begin{bmatrix} \alpha &{} \beta \\ \gamma &{}\delta \end{bmatrix} \in K^{2,2}$ mit $\alpha \delta \ne \beta \gamma$. Berechnen Sie die Treppennormalform von A und bestimmen Sie mit Hilfe dieser Rechnung eine Formel für $A^{-1}$.

• 5.3 Bestimmen Sie den Rang der folgenden Matrizen über $\mathbb R$:

  

• 5.4 Sei $A = \begin{bmatrix} 1 &{} A_{12} \\ 0 &{} B \end{bmatrix} \in K^{n,n}$ mit $A_{12}\in K^{1,n-1}$ und $B \in K^{n-1,n-1}$. Zeigen Sie, dass $A \in GL_n(K)$ genau dann gilt, wenn $B \in GL_{n-1}(K)$ ist.

• 5.5 Gegeben sei die Matrix

  $$\begin{aligned} A = \begin{bmatrix} \frac{t+1}{t-1} &{} \frac{t-1}{t^2} \\ \frac{t^2}{t+1} &{} \frac{t-1}{t+1} \end{bmatrix} \in (K(t))^{2,2}, \end{aligned}$$

  wobei K(t) der Körper der rationalen Funktionen ist (vgl. Aufgabe 3.22). Untersuchen Sie, ob A invertierbar ist. Bestimmen Sie gegebenenfalls $A^{-1}$ und überprüfen Sie Ihr Ergebnis durch Berechnung von $A^{-1} A$.

• 5.6 Zeigen Sie, dass $A\in K^{n,n}$ genau dann invertierbar ist, wenn die Treppennormalform der Matrix $[A,\,I_n] \in K^{n,2n}$ die Gestalt $[I_n,\, A^{-1}]$ hat.

  (Die Inverse einer Matrix $A\in {GL}_n(K)$ kann somit durch Transformation der Matrix $[A,\, I_n]$ in Treppennormalform berechnet werden.)

• 5.7 Zeigen oder widerlegen Sie (durch ein Gegenbeispiel) folgende Aussagen für $A,B\in \mathbb R^{2,2}$:

  • (a) Ist $A\ne 0$, dann ist A invertierbar.

  • (b) Ist A nicht invertierbar, dann hat A eine Nullzeile.

  • (c) Sind $A\ne 0$ und $B\ne 0$, dann folgt $AB\ne 0$.

  • (d) Sind A und B invertierbar, dann folgt $AB\ne 0$.

• 5.8 Finden Sie Beispiele für Matrizen $A,B\in K^{n,n}$ mit $AB=0$ und $BA\ne 0$.

• 5.9 Zwei Matrizen $A,B\in K^{n,m}$ heißen linksäquivalent, wenn es eine Matrix $Q\in GL_n(K)$ gibt mit $A=QB$. Zeigen Sie, dass dies eine Äquivalenzrelation auf $K^{n,m}$ definiert und bestimmen Sie einen möglichst einfachen Repräsentanten aus jeder Äquivalenzklasse. 

• 5.10 Beweisen Sie Lemma 5.8.

• 5.11 Bestimmen Sie LU-Zerlegungen (vgl. Satz 5.5) der Matrizen

  

  Stellen Sie fest, ob die Matrizen invertierbar sind und berechnen Sie gegebenenfalls die Inversen mit Hilfe der LU-Zerlegung.

• 5.12 Sei A die $(4\times 4)$-Hilbert-Matrix  (vgl. die MATLAB Minute vor Definition 5.7). Bestimmen Sie ${{\,\textrm{Rang}\,}}(A)$. Existiert für A eine LU-Zerlegung wie in Satz 5.5 mit $P=I_4$?

• 5.13 Bestimmen Sie den Rang der Matrix

  

  in Abhängigkeit von $\alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb R$.

• 5.14 Seien $A,B\in K^{n,n}$ gegeben. Zeigen Sie, dass

  $$\begin{aligned} {{\,\textrm{Rang}\,}}(A)+{{\,\textrm{Rang}\,}}(B)\le {{\,\textrm{Rang}\,}}\left( \begin{bmatrix} A &{} C \\ 0 &{} B \end{bmatrix}\right) \end{aligned}$$

  für alle $C\in K^{n,n}$ gilt. Überlegen Sie, wann diese Ungleichung strikt ist und wann Gleichheit gilt.

• 5.15 Zeigen Sie, dass $A\in K^{n,n}$ genau dann Rang 1 hat, wenn es $a,b\in K^{n,1}\setminus \{ 0 \}$ mit $A=ab^T$ gibt.

• 5.16 Seien $a, b, c \in \mathbb R^{n,1}$ und $M(a,b) := b a^T - a b^T$. Zeigen Sie, dass Folgendes gilt:

  • (a) $M(a,b) = - M(b,a)$ und $M(a,b) c + M(b,c) a + M(c,a) b = 0$.

  • (b) $M( \lambda a + \mu b, c ) = \lambda M(a,c) + \mu M(b,c)$ für $\lambda , \mu \in \mathbb R$.

  • (c) ${{\,\textrm{Rang}\,}}( M(a,b) ) = 0$ gilt genau dann, wenn es $\lambda , \mu \in \mathbb R$ mit $\lambda \ne 0$ oder $\mu \ne 0$ und $\lambda a + \mu b = 0$ gibt.

  • (d) ${{\,\textrm{Rang}\,}}( M(a,b) ) \in \{ 0, 2 \}$.