Deduktive Systeme und Unvollständigkeit

Zusammenfassung

In der Antike entwickelte sich der wissenschaftliche Diskurs rasant. Arithmetische und geometrische Theoreme wurden unter Annahme von Axiomen präzise hergeleitet. Euklids einflussreiches Buch „Elemente“ ist Ausdruck dieser Kultur. Aus heutiger Sicht liegt jedem mathematischen Beweis ein syntaktischer Kalkül zugrunde, den wir als deduktives System bezeichnen. Dieses Konzept umfasst eine formale Sprache und logische Schlussregeln. Nach Weiterentwicklungen der aristotelischen Logik bei Llull, Leibniz, Bolzano und anderen, führte erst Frege in seiner „Begriffsschrift“ ein deduktives System heutiger Art ein. Gleichzeitig entwickelte sich die Rekursionstheorie und die Axiomatik der Arithmetik durch Dedekind. Wenig später legte Peano die Grundlagen der heutigen Notation in der Logik.