Zusammenfassung
Ab der ersten Hälfte des Jahres 1643 tauschte Torricelli mit den französischen Mathematikern Roberval und Fermat eine Reihe von Problemen aus. Torricelli hat in seinen Manuskripten eine 54 Nummern umfassende Liste dieser Probleme zusammengestellt. Wir geben hier in einem ersten Teil diese Liste in deutscher Übersetzung wieder. In einem zweiten Teil folgen dann Ergänzungen zu den meisten der in der Liste enthaltenen Problemen.
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Notes
- 1.
Der vollständige Titel lautete ursprünglich Racconto d’alcuni Problemi proposti e passati scambievolmente tra gli Matematici di Francia, et il Torricelli ne i quattro anni prossimamente passati. Er wurde durch Serenai abgeändert zu Racconto d’alcune Proposizioni proposte e passate scambievolmente tra i Matematici di Francia, e me dall’anno 1640 in
. - 2.
Fabroni [1778, S. 376–399], unter dem Titel «Racconto d’alcune proposizioni proposte e passate scambievolmente tra i matematici di Francia e me dall’anno 1640 in qu\(\grave{\textrm{a}}\).»
- 3.
Dies geht aus der dem Problem XLVI vorausgehenden Definition hervor. Siehe dazu Anm. 27 weiter unten.
- 4.
OT, III, S. 7–32.
- 5.
La perspective curieuse ou magie artificielle des effets merveilleux. Paris 1638.
- 6.
Torricelli ließ dieses Blatt durch Michelangelo Ricci nach Paris senden, wie dieser am 18. Juli 1643 schreibt: «Pater Niceron schreibt mir, dass er und alle Meister jenes Königreichs wünschen, Ihre Werke so bald wie möglich zu sehen und dass das Blatt mit den Propositionen, das ich gesandt habe, durch alle Hände wandere, mit viel Lob für Ihre schönen Erfindungen» (OT, III, Nr. 55).
- 7.
Nr. XXVIII–XXXIV.
- 8.
Bzw. das Kugelsegment AED (Abb. 10.4 rechts).
- 9.
Rotationsellipsoid.
- 10.
Opera geometrica, Florenz 1644, S. 113–135 der Abhandlung De dimensione parabolae, solidique hyperbolici problemata duo.
- 11.
Der von einem Dreieck erzeugte Schraubkörper (cochlea, siehe Kap. 4, Anhang C).
- 12.
Eines Rotationsparaboloids.
- 13.
Gemeint sind der innere und der äußere Radius des Rings.
- 14.
In einer später zur Nr. XXV hinzugefügten Randnotiz ergänzt Torricelli: Dies wurde dann von mir auf drei verschiedene Arten gezeigt, und der Beweis wurde in Florenz, Rom, Pisa, Bologna und in Frankreich bekanntgemacht, so dass kein Anderer darauf Anspruch erheben konnte.
- 15.
Als Randbemerkung wurde hinzugefügt: «D’Autore incerto».
- 16.
Hier: Applikate = Ordinate (Ursprung des Koordinatensystems im Punkt B, y-Achse parallel zu AC, x-Achse BD).
- 17.
Diametrale (Durchmesserabschnitt) = Ordinate.
- 18.
In den Nrn. XXVIII–XXXIV ist mit Ausnahme der Nr. XXX unter „Parabel“ stets ein Parabelsegment zu verstehen.
- 19.
In OT, III, S. 19 muss der letzte Teil: «...ha la medesima proporzione che ha il duplo dell’ esponente diametrale insieme con l’esponente delle applicate» ergänzt werden mit «...all’esponente delle applicate».
- 20.
Gemeint ist ein halbes Parabelsegment.
- 21.
Diese Definition betrifft die Spiralen höherer Ordnung \(r^{n} = a \cdot \varphi \) bzw. \(r = a' \cdot \varphi ^{1/n} (n \in \mathbb {N})\) mit dem Spezialfall der sog. Fermatschen Spirale \(r^{2} = a \cdot \varphi \). – Die nachfolgenden Probleme XXXV–XXXVII beziehen sich hingegen auf die verallgemeinerten Spiralen \(r^{q} = a \cdot \varphi ^{p} (p, q \in \mathbb {N})\), die in Torricellis Traktat De infinitis spiralibus (OT, I\(_{2}\), S. 381–399) behandelt werden.
- 22.
Eine „gewöhnliche“ Parabel, die durch den Schnitt eines Kegels mit einer Ebene parallel zu einer Mantellinie entsteht.
- 23.
Die logarithmische Spirale.
- 24.
In Wahrheit kommt sie dem Zentrum B nur beliebig nahe.
- 25.
Die gewöhnliche (gleichseitige) Hyperbel. Ihre Quadratur gelang schon in der ersten Hälfte der 20er Jahre des 17. Jahrhunderts dem flämischen Mathematiker Grégoire de St. Vincent, was Torricelli aber nicht wissen konnte, denn Grégoire konnte sein Ergebnis erst im Jahre 1647 in seinem Opus geometricum im Druck veröffentlichen. Näheres dazu im Kap. 4, Anm. 89.
- 26.
Nämlich die Hyperbel \(x^{2}y = k\).
- 27.
Torricelli hat in seinem Manuskript die Angabe «im vergangenen März» (di marzo prossimo pas.\(^{to}\)) nachträglich durchgestrichen. In seinem «Avvertimento» (OT, III, S. 3) weist Loria darauf hin, dass Robervals diesbezüglicher Brief vom 1. Januar 1646 datiert, von Torricelli aber erst im März desselben Jahres empfangen wurde. -Daraus läßt sich schließen, dass der Racconto im Jahre 1646 abgefasst worden sein muss.
- 28.
Torricelli gab dieser Kurve den Namen Robervalsche Linie. Es ist dieselbe Linie, die James Gregory in seiner Geometria universalis (Padua 1668) beschrieben hat, wobei Abt Gallois in den Mémoires de l’Académie des Sciences 1693 behauptet, dass er [Gregory] sie von Roberval übernommen habe, da er anlässlich seiner Italienreise im Jahre 1668 davon Kenntnis erhalten habe. David Gregory, der Neffe von James Gregory, entgegnete darauf in den Phil. Trans. 1694, worauf Gallois in den Mémoires ... 1703 seinen Vorwurf erneuerte.
- 29.
Briefe Torricellis an Cavalieri vom 23. März 1646 und 5. Oktober 1647 (OT, III, Nr. 169 und Nr. 214).
- 30.
Gemeint sind einerseits ebene Figuren mit einer Symmetrieachse und andererseits Rotationskörper.
- 31.
Mersenne an Torricelli, 24. Juni 1644 (OT, III, Nr. 84; CM, XIII, Nr. 1280).
- 32.
Die obige Nr. L. – Torricelli an Mersenne, Ende Juli 1644 (OT, III, Nr. 86; CM, XIII, Nr. 1287).
- 33.
«Si in parallelogrammo inscripta sit aliqua ex infinitis parabolis, omnes dignitates applicatarum in parallelogrammo ad omnes ejusdem gradus applicatarum in parabola, erunt ut exponens applicatarum parabolae una cum numero qui fit ab exponente dignitatis propositae in exponentem diametralium, ad exponentem diametralium.»
- 34.
Siehe dazu die Briefe Cavalieris an Torricelli vom 01.08.1644 (OT, III, Nr. 154) und an Giannantonio Rocca vom 31. Dezember 1646 (CC, Nr. 100).
- 35.
Symmetrieachse.
- 36.
Diese Aussage ist nicht richtig: In der Abhandlung De infinitis parabolis (OT, I\(_{2}\), S. 317–320) hat Torricelli gezeigt, dass BD : DA = 7 : 8 ist. Entsprechend muss dann auch EO : OD = 7 : 8 sein.
- 37.
OT, III, Nr. 24.
- 38.
OT, III, Nr. 43.
- 39.
OT, III, Nr. 56; CM, XII, Nr. 1204. – Das Original des Briefes befindet sich in der Bibliothèque nationale in Paris (f. lat. nouv. acq. 2338, fol. 40r-43v). Der Text wurde in den Divers ouvrages de mathématique et de physique (Paris 1693, S. 278.282) veröffentlicht (Wiederabdruck in den Mémoires de l’Académie des Sciences, t. VI, Paris 1730, S. 349–355). Die von Mersenne an Torricelli weitergereichte, mit eigenhändigen Anmerkungen Torricellis versehene Kopie wird mit «vor dem August 1643» datiert. – Der Aussage Robervals, Torricelli habe «beide [Sätze] mit nur zwei Beweisen gezeigt» hat Torricelli die Notiz hinzugefügt: «Nicht mit zwei Beweisen, sondern mit einem einzigen Beweis haben wir die beiden [Sätze] aus unseren Prinzipien dargelegt.»
- 40.
OT, III, Nr. 33.
- 41.
OT, III, Nr. 22. Mit dem Nacheiferer ist Guldin gemeint, – Zu Famiano Michelini siehe Kap. 2, Anm. 14. – Es sind keine weiteren Briefe zwischen Torricelli und Michelini überliefert.
- 42.
OT, III, Nr. 40.
- 43.
OT, I\(_{2}\), S. 157–158.
- 44.
OT, III, Nr. 56; CM, XII, Nr. 1204.
- 45.
Die Aufgaben waren an Brûlart de Saint-Martin und Bernard Frenicle de Bessy gerichtet, welche sie offenbar für unlösbar befunden hatten. Siehe OF, II, Nr. LVIII, LIX und LX; auch in CM, XII, Nr. 1214.
- 46.
Trouver un triangle duquel le plus grand costé soit quarré, et la somme des deux autres costés soit aussy quarrée. Siehe OF, II, Nr. LVIII, LIX und LX; auch in CM, XII, Nr. 1206.
- 47.
Die Aufgabe findet sich auch in Fermats 1670 posthum veröffentlichten Observationes Domini Petri de Fermat (OF, I, Nr. XLIV, S 336).
- 48.
Dass nämlich die Summe der Hypotenuse und der größeren Kathete ebenfalls ein Quadrat sein soll. In der oben angegebenen Lösung Fermats ist die Summe der Hypotenuse und der kleineren Kathete eine Quadratzahl, nämlich gleich 2 397 697\(^{2}\). Hingegen ist die Summe der Hypotenuse und der größeren Kathete gleich 22 150 905\(^{2}\), somit keine Quadratzahl. – Heller [1970, S. 67] schreibt, dass Fermat in einem Brief an Mersenne vom Dezember 1643 diese zusätzliche Forderung gestellt habe. Allerdings konnten wir weder in CM noch in OF einen entsprechenden Brief Fermats ausfindig machen.
- 49.
Brief vom 25. Dezember 1643 (OT, III, Nr. 65; CM, XII, Nr. 1237).
- 50.
Zu den wenigen italienischen Zeitgenossen Torricellis, die sich mit Algebra beschäftigt haben, gehört in erster Linie der aus Reggio Emilia stammende Giovanni Antonio Rocca (1607–1656). Er hatte unter anderem die Werke von François Viète sowie Descartes’ Géométrie studiert und stand in regem Briefwechsel mit Cavalieri.
Allerdings hatte Torricelli in Rom unter Castelli auch Algebra studiert, denn als ihm Cavalieri u. a. ein Problem vorgelegt hatte, bei dem es darum ging, die Zahl 6 so in zwei Teile zu zerlegen, dass die Differenz der Quadrate der beiden Teile, multipliziert mit dem Quadrat des kleineren Teils, 9 ergibt – das Problem führt auf eine kubische Gleichung –, schrieb er am 5. Januar 1641 an Magiotti: «Verstünde ich von dieser Wissenschaft so viel, wie ich verstand, als ich von Rom wegging, so hätte ich sicherlich darüber nachgedacht; da wir hier aber keine Bücher zu diesem Thema haben, befasse ich mich nicht mit Fragen, die über einfache Gleichungen hinausgehen.» (OT, III, Nr. 4).
- 51.
OT, III, Nr. 76; CM, XIII, Nr. 1269.
- 52.
Vol. 24 (1917), S. 97–98 (Question n\(^{\circ }\) 4755).
- 53.
OF, II, S. 205–206. – In einem Brief vom 29. August 1654 an Blaise Pascal wiederholte er seine Vermutung (OF, II, S. 309–310).
- 54.
OT, III, Nr. 181; CM, XIV, Nr. 1489.
- 55.
OT, III, Nr. 187: Torricelli verspricht, Ricci den Beweis zu senden, da er wünscht, dass er auf diese Weise Verbreitung finden möge, «denn ich sehe, dass der Druck meiner Werke für immer ruhen wird».
- 56.
Der Olivetaner Vincenzio Renieri (1606–1647) war Professor der Mathematik an der Universität Pisa.
- 57.
OT, III, Nr. 190 bzw. 191.
- 58.
Diese Behauptung ist wahr, falls alle drei Winkel des Dreiecks ABC kleiner als 120\(^{\circ }\) sind. Ist z. B. der Winkel bei A \(\ge \) 120\(^{\circ }\), so ist A der gesuchte Punkt (der sog. Fermat-Punkt, auch Fermat-Torricelli-Punkt genannt).
- 59.
«Die Verbindungslinien des Berührungspunktes einer Tangente mit den angegebenen Teilpunkten [d. h. den Brennpunkten] der Achse bilden mit der Tangente gleiche Winkel».
- 60.
«Wenn in einem Punkte [...] einer Ellipse [...] die Tangente konstruiert wird und durch den Punkt eine zum Durchmesser geordnet gezogene Gerade gelegt wird [..., so fällt] in die Fläche zwischen der Tangente und der Kurve [...] keine weitere Gerade».
- 61.
«Verbindet man irgendeinen Punkt einer Ellipse mit den genannten inneren Teilpunkten der Achse [d. h. den Brennpunkten], so ist die Summe dieser Verbindungslinien gleich der Achse».
- 62.
Die Kreise ABD und CBE sind die Umkreise der über den Strecken AB bzw. BC errichteten gleichseitigen Dreiecke.
- 63.
Das betreffende Dokument wurde aufgrund einer von Arbogast angefertigten Kopie (d’après le manuscrit de Fermat) unter dem Titel Ad methodum de maxima et minima appendix veröffentlicht in OF, I, 157. Franz. Übers. in OF, III, S. 139–140. – In Max Millers deutscher Übersetzung: Pierre de Fermats Abhandlungen über Maxima und Minima, Leipzig 1934 (Ostwalds Klassiker, Nr. 238), wird auf S. 22 nur die Aufgabenstellung formuliert und auf S. 47 in der Anmerkung 30 die Lösung skizziert.
- 64.
Siehe Kap. 2.
- 65.
OT, III, Nr. 111. – Ricci, dem Mersenne die Fermatsche Aufgabe offenbar ebenfalls gezeigt hatte, kommt in seinem Brief vom 4. Februar (OT, III, Nr. 121) an Torricelli nebenbei darauf zu sprechen. – Zu Riccis eigener Lösung der Aufgabe siehe Hofmann [1963, S. 153–155].
- 66.
Ebenfalls in seinem Brief an Mersenne von Ende Januar 1645 (OT, III, Nr. 1230; CM, XIII, Nr. 1331, Appendice).
- 67.
«Von allen Parallelogrammen, die man an eine feste Strecke so anlegen kann, dass ein Parallelogramm fehlt, welches einem über ihrer Hälfte gezeichneten ähnlich ist und ähnlich liegt, ist das über der Hälfte angelegte, das selbst dem fehlenden ähnlich ist, das größte.» Daraus folgt, dass von allen dem rechtwinkligen Dreieck AGH einbeschriebenen Rechtecken (mit einer Ecke in A) das Rechteck ADE den größtmöglichen Flächeninhalt aufweist.
- 68.
OT, I\(_{2}\), S. 381–399.
- 69.
Siehe dazu auch die in der richtigen Reihenfolge wiederhergestellte Fassung in Carruccio [1955].
- 70.
OT, I\(_{2}\), S. 372–374.
- 71.
Brief vom 29. Juni 1647 (OT, III, Nr. 201).
- 72.
OT, I\(_{2}\), S. 241–244.
- 73.
OT, I\(_{2}\), S. 243.
- 74.
Bortolotti [1925, S. 951]. – Siehe die betreffende Stelle unter dem Titel Tangenti dell’infinite hyperbole senza quadratura ex sola definitione (OT, I\(_{2}\), 307–308).
- 75.
Loria hat offenbar die von unbekannter Hand für den Druck vorbereitete Kopie (Ms. Gal. 141c. 186r) des Manuskripts verwendet, welche diese Textlücke aufweist.
- 76.
Hiperbola bastarda (auch hyperbola spuria genannt): Kurven \(x^{2}y = k\) oder auch \(xy^{2} = k.\)
- 77.
OT, III, Nr. 172 (Ms. Gal. 150, c. 133r-135r). Es handelt sich dabei gemäß Angaben des Herausgebers um eine „moderne“ Kopie des Briefes. In der Figur ist der Punkt [E] irrtümlich mit «B» bezeichnet.
- 78.
EG ist mittlere Proportionale zu ED und EH, daher ist ED : EG = EG : EH. Wegen der Gleichheit der Rechtecke GI und HF ist aber EG : EH = EF : EI. Somit ist EG : EH = EF : EI.
- 79.
Aus EI : IL = EF : IF, d. h. EF : EI = IF : IL folgt durch „Verhältnisumwendung“ (Euklid V, Def. 16) EF : (EF – EI) = IF : (IF – IL) bzw. EF : IF = IF : LF, daher IF ist mittlere Proportionale zwischen EF und LF.
- 80.
OT, III, Nr. 168.
- 81.
Brief vom 1. Januar 1646 (OT, III, Nr. 165; CM, XIV, Nr. 1415).
- 82.
Robervals Beweis wurde erst 1693 im Traité des indivisibles (S. 190–245 in Divers ouvrages de mathématiques et de physique par Messieurs de l’Académie Royale des Sciences. Paris 1693) veröffentlicht. Dort wird außerdem das Volumen des von der Robervalschen Figur erzeugten Rotationskörpers bestimmt.
- 83.
OT, III, Nr. 169.
- 84.
OT, III, Nr. 176; CM, XIV, Nr. 1485.
- 85.
In Analogie zum Fall der quadratischen Parabel wird hier die Konstante k als latus rectum bezeichnet.
- 86.
Da B auf der Verbindungsgeraden AE liegt.
- 87.
Es ist ED : CD = EI : IO, (ED – CD) : CD = (EI – OI) : OI, d. h. EC : CD = EO : OI und damit EC : EO = CD : OI = ED : EI.
- 88.
Beweis im Anhang zu diesem Kapitel.
- 89.
Ist AB der Bogen einer Parabel \(y = x^{p/q} (p > q)\) so lautet die Gleichung der dem Parallelogramm FBDE einbeschriebenen Parabel: \(y = \frac{p-q}{q} \cdot x^{p/q}.\) Mittels Integralrechnung ist dann leicht zu zeigen, dass das Trilineum ABE und das Halbparabelsegment ABC tatsächlich flächengleich sind.
- 90.
Torricelli an Cavalieri am 14. Juli 1646 (OT, III, Nr. 182).
- 91.
Am 23. Juni 1645 (OT, III, Nr. 151).
- 92.
OT, III, Nr. 187.
- 93.
Bei den Rotationskörpern sind die Indivisiblen Kreisflächen, die proportional zu den Quadraten der jeweiligen Applikaten sind.
- 94.
OT, I\(_{2}\), S. 216–217.
- 95.
Centrum gravitatis ita secat axem sive diametrum tam in planis, quam in solidis figuris, ut pars versus verticem sit ad reliquam ut sunt omnes ductus applicatarum in omnes diametri portiones versus verticem abscissas ad omnes ductus eorumdem applicatarum in reliquas diametri portiones. Torricelli fasst hier die Fälle der ebenen und räumlichen Figuren in einer einzigen Formulierung zusammen, wobei aber bei den räumlichen Figuren unter „Applikate“ das Quadrat der jeweiligen Applikaten zu verstehen ist.
- 96.
OT, III, Nr. 170. – Gleichentags schrieb Torricelli auch einen ähnlichen Brief an Michelangelo Ricci, wobei er sich allerdings auf die blosse Mitteilung (ohne den Beweis) des von ihm gefundenen Satzes beschränkte (OT, III, Nr. 171).
- 97.
OT, III, Nr. 172.
- 98.
Cogitata physico-mathematica Hydraulica pneumatica, S. 77: «Nullus, quod sciam, hactenus demonstrare potuit, praeter nostrum Geometram, coni scaleni quanta sit superficies, & cui spatio sit aequalis.» – Spätere Lösungen von Varignon, Leibniz und Euler werden diskutiert in Daniel J. Curtin: The surface area of a scalene cone as solved by Varignon, Leibniz, and Euler. Euleriana 1 (1), 2021, 10–41.
- 99.
OT, III, Nr. 215; CM, XV, Nr. 1623.
- 100.
Miscellanea Berolinensia, III (1727), S. 285: «Robervallius, me juvene ajebat, ejus explanationem sibi esse nota, sed qualem habuerit non dixit. Nihilque ea de re inter ejus schedas repertum accepi.»
- 101.
Kepler beschreibt die parabolische Spindel in seiner Stereometria doliorum (1615), ohne aber ihr Volumen bestimmen zu können. Deren Kubatur war allerdings schon früher dem arabischen Mathematiker Ibn al-Haitham gelungen, indem er eine Summenformel für die vierten Potenzen der natürlichen Zahlen entwickelte (bei Anwendung der Methoden der Infinitesimalrechnung führt das Problem auf die Integration einer Polynomfunktion vierten Grades). Siehe dazu Wieleitner [1931, S. 202–203].
- 102.
«in qua, ad indivisibilium utilitatem et energiam amplius declarandam, usus eorundem in potestatibus cossicis seu algebraicis explicatur».
- 103.
Das korrekte Verhältnis ist 3 : 2.
- 104.
OT, III, Nr. 94. – Das dort angegebene Datum vom 12. August 1644 ist falsch, denn Torricelli gibt in diesem Brief einen Auszug aus Cavalieris Schreiben vom 1. August 1645 (OT, III, Nr. 154) wieder.
- 105.
OT, III, Nr. 155.
- 106.
OT, I\(_{2}\), S. 215–216.
- 107.
Der Brief Cavalieris vom 1. August 1645 (OT, III, Nr. 154) ist nur in einer später entstandenen Kopie überliefert.
- 108.
OT, III, Nr. 94. – Siehe dazu auch Anm. 101.
- 109.
Die Bezeichnung „Scholium“ ist nur in Serenais Kopie (Ms. Gal. 146, c. 113v) zu finden.
- 110.
Folglich verhält sich das Restdreieck LRD [= \(\frac{1}{2}\bigtriangleup \)BRD], zum Restdreieck EDR wie 3 : 4, und daher teilt der Schwerpunkt R die Strecke EL im Verhältnis ER : RL = 4 : 3.
- 111.
Ms. Gal. 146, c. 51v; OT, I\(_{2}\), S. 216.
- 112.
Ms. Gal. 141, c. 293r-294v; OT, I\(_{2}\), S. 317–320.
- 113.
Opera geometrica, De dimensione parabolae, S. 33, Lemma XI. (siehe Kap. 3).
- 114.
Aufgrund von Nr. LIII.
- 115.
Torricelli beweist dies in seiner Abhandlung De infinitis parabolis (OT, I\(_{2}\), S. 296–297).
- 116.
Aufgrund von Archimedes, Über das Gleichgewicht ebener Flächen, I, 8.
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Acampora, R. (2023). Torricellis Racconto d’alcuni problemi. In: Evangelista Torricelli. Mathematik im Kontext. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-66407-0_10
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