Dynamische Systeme: Kontrolle und Approximation

Zusammenfassung

Mit dem Euler-Vorwärts-Verfahren kann ein AWP zu einer Differenzialgleichung 1. Ordnung numerisch und approximativ gelöst werden. Bei der Arbeit mit dem Euler-Vorwärts-Verfahren geht man davon aus, dass das AWP eine eindeutige Lösung hat. Bei nichtlinearen Differenzialgleichungen kann das Cauchyproblem mehrere Lösungen haben. Lösungen können sogar ‚explodieren‘. Wie diese zwei Phänomene kontrolliert werden, wird im ersten Teil des Kapitels dargestellt. Im zweiten Teil des Kapitels werden autonome Systeme, die Methode der Separation der Variablen und das Euler-Vorwärts-Verfahren vorgestellt.

Antwort $y=y(t)$ und Approximation $y_\textit{approx}(t)$

Aufgaben

6.1

Sind die folgenden Differenzialgleichungen für $y=y(t)$ autonom?

$$ \text {(a) } \quad y'(t)=-y^2(t) \qquad \text {(b) } \quad y'(t)= \frac{1}{1+y(t)} $$

Lösen Sie die beiden Differenzialgleichungen ohne Rechner mit der Methode der Separation der Variablen. Bei (a) lautet die Anfangsbedingung $y(0)=10$ und bei (b) ist sie $y(0)=1$. Kontrollieren Sie die Resultate mit einem Taschenrechner, mit MATLAB oder mit Julia.

6.2

Es sei $x=x(t)$ die Position eines Körpers, der sich entlang der x-Achse mit der Geschwindigkeit $x'(t)$ bewegt. Die Geschwindigkeit sei $x'(t) = -\exp (-x(t))$. Ist das System autonom? Wie lange dauert es, bis der Körper den Punkt $x=0$ erreicht, wenn er bei $x(0)=5$ startet?

6.3

Die folgenden Cauchyprobleme für $y=y(t)$ mit $t\ge 0$ sind mit der Methode der Separation der Variablen lösbar:

$$ \text {(a) } \quad y'(t)=-2t\cdot y(t), \quad y(0)=10 \qquad \text {(b) } \quad y'(t)= t^2\cdot e^{-y(t)}, \quad y(0)=1 $$

Bestimmen Sie $y=y(t)$ ohne Rechner. Überprüfen Sie die Resultate mit einem Taschenrechner, mit MATLAB oder mit Julia. Zeichnen Sie die Graphen von $y=y(t)$ für $0\le t \le 20$.

6.4

Im Jahr 1837 entdeckte der belgische Biologe und Mathematiker Verhulst das folgende Gesetz für eine Zellkultur, welche sich infolge Zellteilung sowohl vermehrt als auch gleichzeitig infolge Absterbens verkleinert:

Ist $y=y(t)$ die Anzahl einer Zell-Population nach t Zeiteinheiten, so ist

• 1. die Wachstumsrate von y(t) (Zellteilung) proportional zur bestehenden Anzahl der Zellen (der Proportionalitätsfaktor sei a),

• 2. die Zerfallsrate von y(t) (Absterben) proportional zum Quadrat der bestehenden Anzahl der Zellen (der Proportionalitätsfaktor sei b).

• (a) Stellen Sie die Differenzialgleichung auf, die das Gesetz für $y=y(t)$ modelliert. Ist die Differenzialgleichung linear? Ist sie autonom?

• (b) Zum Zeitpunkt $t=0$ beobachtet man 30 Zellen. Bestimmen Sie y(t) mit einem Taschenrechner, mit MATLAB oder mit Julia, wenn $a=20$ und $b=0{,}5$ sind. Wie groß ist y(t) in etwa, wenn t sehr groß ist? Zeichnen Sie den Graph von y(t).

• (c) Wie muss man y(0) – in Funktion von a und b – wählen, damit die Anzahl der Zellen $y=y(t)$ konstant bleibt?

6.5

Gegeben ist das Cauchyproblem für $y=y(t)$

$$ \frac{\text {d}y}{\text {d}t} = (y(t))^{1/3} \qquad \text { mit } \quad y(0) = y_0 $$

• (a) Wenn die Anfangsbedingung $y(0)=1$ lautet, so können Sie $y=y(t)$ mit $t\ge 0$ mit der Methode der Separation der Variablen lösen. Tun Sie dies ohne Rechner. Kontrollieren Sie das Resultat mit einem Taschenrechner, mit MATLAB oder mit Julia. Findet eine Explosion in endlicher Zeit statt? Zeichnen Sie den Graph von $y=y(t)$.

• (b) Wenn die Anfangsbedingung $y(0)=0$ lautet, können Sie die Methode der Separation der Variablen nicht benutzen. Weshalb ist das so?

• (c) Ist die Anfangsbedingung $y(0)=0$, so hat das Cauchyproblem unendlich viele Lösungen. Lösungen sind beispielsweise $y=y(t)=0$ und $y=y(t)=0{,}544\cdot t^{3/2}$. Was passiert, wenn Sie dieses Cauchyproblem mit MATLAB oder mit Julia lösen?

6.6

Gegeben ist das AWP 1. Ordnung $y'(t)=y(t)-2$ mit $y(0)=1$ für $y=y(t)$. Die Differenzialgleichung ist linear. Damit hat das AWP eine eindeutige Lösung $y=y(t)$ für $t\ge 0$.

• (a) Ist das System stabil?

• (b) Bestimmen Sie $y=y(t)$ mit einem Taschenrechner, mit MATLAB oder mit Julia.

• (c) Finden Sie mit dem Euler-Vorwärts-Verfahren eine Approximation $y_{\text {approx}}(t)$ dieser Lösung für $0\le t\le 1$ mit einer Schrittweite $h=0{,}2$.

• (d) Vergleichen Sie das Resultat der Approximation mit der exakten Lösung. Ergänzen Sie dazu die folgende Tabelle:

  $$\begin{aligned} \begin{array}{c|cccccc} t &{}0{,}0 \ \ &{} 0{,}2 \ \ &{} 0{,}4 \ \ &{} 0{,}6 \ \ &{} 0{,}8 \ \ &{} 1{,}0\\ y(t) \\ y_{\text {approx}}(t) \end{array} \end{aligned}$$

• (e) Finden Sie mit dem Euler-Vorwärts-Verfahren eine Approximation $y_{\text {approx}}(t)$ dieser Lösung für $0\le t\le 5$ mit einer Schrittweite $h=0{,}1$. Benutzen Sie dazu eine for-Schleife mit MATLAB oder mit Julia. Zeichnen Sie den Graph der Approximation und vergleichen Sie ihn mit dem Graph der exakten Lösung $y=y(t)$.

6.7

Betrachtet wird das Anfangswertproblem

$$ y'(t) = 0{,}2\cdot y^2(t) + 3\cdot t, \qquad y(0)= 3 $$

• (a) Ist die Differenzialgleichung linear?

• (b) Finden Sie mit dem Euler-Vorwärts-Verfahren eine Approximation von y(t) für $0\le t \le 1{,}2$. Benutzen Sie dazu eine Schrittweite von $h=0{,}2$. Gesucht ist eine Tabelle mit approximativen Werten von $y=y(t)$ für $t=0{,}0$, $t=0{,}2$, $t=0{,}4$, $t=0{,}6$, $t=0{,}8$, $t=1{,}0$ und $t=1{,}2$.

• (c) Zeichnen Sie den Graph der in (b) erhaltenen approximativen Lösung der Differenzialgleichung.

6.8

Das Anfangswertproblem aus Beispiel 6.2

$$ \frac{\text {d}y}{\text {d}t} = \sqrt{y(t)} \qquad \text { mit } \quad y(0)= 0 $$

hat unendliche viele Lösungen. Wenden Sie das Euler-Vorwärts-Verfahren auf die Differenzialgleichung an, um eine Lösung $y=y(t)$ mit $0\le t\le 2$ zu erhalten. Benutzen Sie dazu eine Schrittweite von $h=0{,}1$ und keinen Rechner. Welche Lösung $y=y(t)$ erhalten Sie?

6.9

Gegeben ist das AWP $y'(t) = -0{,}2\cdot y(t) + e^{-t}$ mit $y(0)=0$ für $y=y(t)$. Da die Differenzialgleichung linear ist, existiert eine eindeutige Lösung $y=y(t)$ für $t\ge 0$. Zudem ist das System stabil und daher für das Cauchy-Verfahren geeignet. Schreiben Sie ein MATLAB- oder ein Julia-Programm, das die Lösung $y=y(t)$ für $0\le t \le 10$ nach dem Euler-Vorwärts-Verfahren mit Schrittweite 0, 1 approximiert. Stellen Sie die Approximation grafisch dar.

6.10

Lösen Sie die folgenden Cauchyprobleme für $y=y(t)$ numerisch mit MATLAB oder mit Julia:

$$ \text {(a) }\quad y'(t) = t\cdot \sin (y(t)) + \cos (t) \text { f}\ddot{\mathrm{u}}\text {r } 0< t\le 100 \qquad \text { mit } \quad y(0)=2 $$

$$ \text {(b) }\quad y'(t) = \frac{1}{t+1}\cdot y(t) + t^2 \text { f}\ddot{\mathrm{u}}\text {r } 0< t\le 50 \qquad \text { mit } \quad y(0)=10 $$

$$ \text {(c) }\quad u'(x) = -u^2(x) \text { f}\ddot{\mathrm{u}}\text {r } 0< x\le 10 \qquad \text { mit } \quad u(1)=10 $$

Stellen Sie die Lösungen jeweils grafisch dar. Welche Differenzialgleichungen sind linear? Welche Anfangswertprobleme könnten Sie auch analytisch exakt lösen?

6.11

Um die Route des nachfolgenden Schiffs (Beispiel 6.10) zu bestimmen, muss die folgende autonome Differenzialgleichung für $y=y(x)$ gelöst werden:

$$ y'(x)= -\frac{ y}{\sqrt{b^2-y^2}} \qquad \text { mit } \quad y(0)=b $$

Man kann $y=y(x)$ nicht explizit angeben. Berechnen Sie $y=y(x)$ numerisch mit MATLAB oder mit Julia, wenn $b = 10$ ist. Stellen Sie die Lösung grafisch dar.

6.12

Lösen Sie die Anfangswertprobleme der Aufgabe 6.3 mit dem Euler-Vorwärts-Verfahren numerisch mit MATLAB oder mit Julia. Beurteilen Sie grafisch im Intervall $0\le t\le 20$: Unterscheiden sich die approximativ berechneten Lösungen stark von den exakten Lösungen?

6.13

Lösen Sie die Anfangswertprobleme der Aufgaben 5.8 bis 5.13 mit dem Euler-Vorwärts-Verfahren numerisch mit MATLAB oder mit Julia. Unterscheiden sich die approximativ berechneten Lösungen stark von den exakten Lösungen?

6.14

Das AWP $\text {d}y/\text {d}t = y(t)^2$ mit $y(0)=1$ für $y=y(t)$ ist nicht linear. Die Lösung lautet

$$ y= y(t) = \frac{1}{1-t} $$

Sie explodiert, wenn $t=1$ ist.

• (a) Überprüfen Sie die Lösung, indem Sie das AWP mit einem Taschenrechner, mit MATLAB oder mit Julia lösen.

• (b) Was passiert, wenn Sie das AWP numerisch mit MATLAB oder mit Julia lösen? Experimentieren Sie dabei mit den Fenstern für t von 0, 0 bis 0, 5, von 0, 00 bis 0, 99, von 0, 0 bis 1, 0 und von 0, 0 bis 5, 0.