Zusätze und spezielle Probleme

Zusammenfassung

Einer der stärksten Antriebe für die Mathematiker, sich mit Variationsrechnung zu beschäftigen, ging immer von dem Wunsch aus, die Differentialgleichungen, die eine große Klasse von Naturerscheinungen beschreiben, aus einem Variationsprinzip herleiten zu können. Zu Zeiten Eulers war dieses Bestreben mit allerlei mystischen Überlegungen (daß die Natur „mit sparsamsten Mitteln arbeitet“ usw.) verbunden. Die mystischen Tendenzen traten zwar immer mehr zurück als man sich mit der Aufstellung der notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Existenz eines Extremums beschäftigte, doch es erwies sich die Auffindung eines Variationsproblems, dessen Euler-Iagrangesche Differentialgleichungen mit den die betreffenden Naturvorgänge beschreibenden Differentialgleichungen identisch sind, stets als außerordentlich nützlich. So wird hierdurch die Untersuchung von Invarianzeigenschaften der Differentialgleichungen und die Auffindung von Naturgesetzen als Folge dieser Invarianzeigenschaften wesentlich erleichtert. Vor allem aber erlaubt die Formulierung als Variationsproblem die Anwendung der direkten Methoden der Variationsrechnung zur Ermittlung von Näherungslösungen, was sich, namentlich bei Randwertaufgaben, zumeist als sehr zweckmäßig erweist. Außerdem wies insbesondere Helmholtz auf gewisse Reziprozitätsgesetze hin, die bei vielen physikalischen Problemen auftreten, und diese ließen sich leicht herleiten, wenn es gelang, ein die betreffende Naturerscheinung beherrschendes Variationsproblem aufzustellen. So gewann die Frage, wann man einer bzw. einem System von Differentialgleichungen ein Variationsproblem zuordnen kann, so daß die Forderung nach dem Verschwinden der ersten Variation die betreffende Differentialgleichung bzw. das betreffende System von Differentialgleichungen zur Folge hat, immer mehr an Bedeutung.