Zusammenfassung
Zellularautomaten und Boolesche Netze sind ein mittlerweile schon fast klassisches Musterbeispiel von bottom-up Modellen, da diese formalen Systeme ausschließlich auf der Basis von lokalen Wechselwirkungen konstruiert werden können. Die einfache Grundlogik dieser Algorithmen lässt sich prinzipiell als eine kombinatorische Erweiterung der binären Aussagenlogik verstehen und somit als ein Modell der einfachsten Grundformen menschlichen Denkens. Trotz dieser prinzipiellen Einfachheit ist es möglich, Prozesse nahezu unbegrenzter Komplexität mit diesen Modellen zu erfassen. Mit ihnen kann insbesondere die einfache Selbstorganisation von Systemen analysiert werden, d. h. die Entstehung bzw. Emergenz globaler Ordnungsstrukturen aus rein lokalen Interaktionen der Systemelemente. Darüber hinaus kann auch adaptives Verhalten mit Zellularautomaten bzw. Booleschen Netzen modelliert werden, wenn zu den Interaktionsregeln spezielle Metaregeln eingefügt werden.
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Notes
- 1.
Die Behauptung „ohne Beschränkung der Allgemeinheit“ ist deswegen korrekt, weil sich bekanntlich jede natürliche Zahl durch eine binäre Zahl darstellen lässt.
- 2.
Eine mathematische Erinnerung: Beim Beweisverfahren der vollständigen Induktion beginnt man damit, dass man die entsprechende Behauptung für den Fall n = 1 beweist. (der sog. Induktionsanfang). Anschließend folgt der sog. Induktionsschritt, indem man von der Annahme, dass man die Behauptung für ein beliebiges n bewiesen hat, zeigt, dass dann die Behauptung auch für n + 1 gilt. In der obigen Formel ist die Variable n übrigens so zu verstehen, dass für die übliche Moore-Umgebung gilt, dass n = 1; die Erweiterung ergibt dann n = 2 usf.
- 3.
In der zweiten Auflage des Buches haben wir das Beispiel eines entsprechenden stochastischen ZA gezeigt (Klüver et al., 2012).
- 4.
Nicht nur aber auch für seine ZA-Modellierungen hat Schelling übrigens 2005 die Hälfte des Nobelpreises in Ökonomie erhalten.
- 5.
Mit freundlicher Genehmigung von Michel Milinkovitch „Laboratory of Michel Milinkovitch at the University of Geneva, Switzerland“.
- 6.
Dies können Sie genauer nachlesen in unserer in der Einleitung erwähnten Einführung in „Mathematisch-logische Grundlagen der Informatik“.
- 7.
Mit etwas Mühe lässt sich die Topologie eines BN allerdings aus dem geordneten Satz der Funktionen ableiten.
- 8.
Leser/innen, die an diesen theoretisch-mathematischen Überlegungen nicht interessiert sind, können dies Subkapitel auch überspringen; für das Verständnis der in den folgenden Passagen gebrachten Anwendungsbeispiele sind diese Überlegungen im Allgemeinen nicht erforderlich.
- 9.
Bei N Knoten sind das bekanntlich 2N mögliche Zustände.
- 10.
Die 2- und 1-stelligen Junktoren sind in der Menge der 3-stelligen immer schon als sog. reduzible enthalten.
- 11.
Das sind 16, 256, 216, … Funktionen für N = 2, 3, 4, …
- 12.
Viele Untersuchungen beschränken sich z. B. schon von vornherein auf bestimmte zweistellige Funktionen.
- 13.
Die Tabelle gilt nur für das übliche synchrone Update. In diesem Falle genügt die Berechnung des ersten Zeitschritts für die Bestimmung der Menge aller Attraktorbecken für den jeweiligen Satz von Funktionen.
- 14.
Die Adjazenzmatrix wird hier mit i.j = 0,1, …,N-1 indiziert. Es sei noch darauf hingewiesen, dass die (gerichteten) Graphen signiert sind, d. h. ihre Elemente tragen eine Zahl, die den System-Zustand angibt. Vertauschung der Signatur-Zahlen liefert eine andere BAF, die aber isomorph, also strukturell gleich ist.
- 15.
Das beschriebene Verfahren ist umkehrbar: aus einem vorgegebenen BAF kann damit eindeutig der Funktionssatz bestimmt werden. Jede der Spalten der binären 8 × 3 Matrix, als Binärzahl interpretiert und in eine Dezimalzahl umgewandelt, gibt genau eine der Booleschen Funktionen in Form des sog. Wolfram-Codes an.
- 16.
Als Garden Eden Zustände werden solche bezeichnet, die selbst nicht aus Übergängen hervorgehen, also keine „Vorgänger“ haben.
- 17.
Interessant ist, wie obige Beispiele zeigen, dass auch die einstelligen Funktionen, wenn sie als zweistellige, reduzible geschrieben werden, den Wert P = 0,5 besitzen.
- 18.
Die Beispiele zeigen jedoch auch ein Problem auf, nämlich wie eine höhere Komplexität genau definiert ist. Welche der drei BN im Beispiel führt zur höchsten Komplexität?
- 19.
Im Übrigen sei darauf hingewiesen, dass jede 3- oder mehrstellige Boolesche Funktion als Kombination von zweistelligen Funktionen dargestellt werden kann, für die dann wieder das Kauffmansche Kriterium gelten müsste. In einem logischen Sinne „gibt“ es danach eigentlich gar keine Booleschen Funktionen mit K > 2.
- 20.
Wir bitten um Entschuldigung dafür, dass wir diese graphentheoretischen Ausdrücke hier nicht näher erläutern, sondern auf unsere erwähnte Einführung in die mathematisch-logischen Grundlagen der Informatik verweisen.
- 21.
Die Elemente des OD-Vektors sind die Zeilensummen der Adjazenzmatrix, die des ID-Vektors die Spaltensummen.
- 22.
Eine Ausnahme sind häufig BN, deren v-Parameter genau 0 beträgt. Das hat offensichtlich mit der meist hohen Symmetrie der Struktur in diesen Fällen zu tun.
- 23.
Für andere Arten des Strukturvergleichs können ähnliche Parameter, z. B. auch mit Berücksichtigung der ausgehenden Kanten oder der Anzahl der Zyklen oder Hamiltonzyklen im Digraphen, definiert werden – dies nur als Hinweis für graphentheoretisch etwas beschlagene Leser/innen.
- 24.
Dieses Prinzip lässt sich möglicherweise auch auf Funktionen übertragen: Zu untersuchen wäre, ob Funktionssets mit vielen verschiedenen Funktionen tendenziell einfachere Dynamiken ergeben als überwiegend gleiche Funktionen. Schließlich könnte auch noch eine Rolle spielen, in welcher räumlichen Weise (z. B. symmetrisch oder asymmetrisch) die Funktionen den Einheiten des BN zugeordnet sind.
- 25.
Gerhard und Schuster (1995) erklären sogar, dass niemand den λ-Parameter, d. h. dessen Auswirkungen, richtig verstanden hätte. Das obige Prinzip der Ungleichheit zeigt, dass die Ordnungsparameter so undurchschaubar nicht sind; insbesondere erlauben sie ein allgemeines Verständnis der Dynamik dieser Systeme.
- 26.
Wir haben in zahlreichen Computerexperimenten die wechselseitigen Beeinflussungen der verschiedenen Ordnungsparameter, nämlich für P, C und v untersucht und dabei die jeweiligen Wertebereiche angegeben, in denen komplexe Dynamiken entstehen können. Da dies den Rahmen dieser Einführung sprengen würde, haben wir die entsprechenden Ergebnisse in einer gesonderten Publikation dargestellt, auf die hier nur verwiesen werden kann (Klüver & Schmidt, 2007). Es spricht einiges dafür, dass in vielen Beispielen der v-Parameter einen entscheidenden Einfluss auf die jeweiligen Dynamiken hat.
- 27.
Mathematisch interessierte Leser seien hier darauf hingewiesen, dass in der allgemeinen Topologie der Begriff der Umgebung ohne Verwendung der metrischen Definition einer Distanz definiert wird. Wir verwenden für die Operationen von ANG „nur“ die metrische Umgebungsdefinition.
- 28.
Wir wissen leider nicht, mit welchem therapeutischen Erfolg unser Programm von den Therapeuten eingesetzt worden ist.
- 29.
Die Web-basierte Implementierung des ANG erfolgte durch Jozsef Sütö (für mehr Details Sütö & Klüver, 2021).
- 30.
Für die ursprünglich deutschsprachige und die englischsprachige Version der Lösung von Word Morph durch ANG benutzten wir jeweils einen Wortthesaurus aus dem Internet für das verwandte Wortspiel „Scrabble“ mit Dateien bis zu 18.000 Wörtern.
- 31.
- 32.
https://www.amboss.com/de/wissen/Influenza. Letzte Aktualisierung am 04.07.2023.
- 33.
Es handelt sich um eine Absolventin im Studiengang Gesundheitsökonomik und einen promovierten Arzt sowie Absolvent im Studiengang Medizinmanagement für Mediziner.
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- 35.
Es handelt sich um Benedikt Liegener und Nils Loose. Die Videos zu den Modellen sind auf YouTube abrufbar.
- 36.
ZA wurden in diesem Zusammenhang bereits in dem Bestseller „The Digital Fortress“ von Dan Brown erwähnt.
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Dies kann dadurch erreicht werden, dass man ZA-Regelsysteme verwendet, die einen ZA der Wolframklasse III generieren.
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Zu Sudoku Rätseln existiert bereits eine relativ umfängliche Literatur; zu verweisen ist insbesondere auf Crook (2009), der einen Lösungsalgorithmus vorgeschlagen hat. Dieser ist unserem Algorithmus sehr ähnlich (wir kannten allerdings ursprünglich die Arbeit von Crook noch nicht), weswegen für Details auf diese Arbeit sowie auf die Seminararbeit eines unserer Studenten, Tobias Fiebig, verwiesen werden kann.
- 39.
In der Terminologie der neuronalen Netze handelt es sich hier um ein dreischichtiges Feed Forward Netz (vgl. Abschn. 5.2.2).
- 40.
Das CoBASC-BN-Tool wurde von Björn Zurmaar implementiert und durch Phu Nguyen erweitert.
- 41.
Dieses Anwendungsbeispiel wird übrigens von uns im Kapitel über neuronale Netze detaillierter dargestellt, wo wir zeigen, dass ein von uns entwickeltes neuronales Netz die Aufgabe löst, einen geeigneten Standort zu empfehlen (s. u. Abschn. 5.6.3).
- 42.
Für das Self-Enforcing Network (SEN) (Abschn. 5.6.3) stellt diese Tabelle die „semantische Matrix“ dar, die vom Netzwerk gelernt wird.
- 43.
Bei der methodischen Verwendung von idealen Objekten als Referenztypen haben wir uns auch terminologisch von dem berühmten Begriff des „Idealtypus“ des großen theoretischen Soziologen Max Weber inspirieren lassen.
- 44.
- 45.
In dem von Jozsef Sütö implementierten Tool kann die Umgebungsgröße vorgegeben werden.
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Klüver, C., Klüver, J., Schmidt, J. (2024). Selbstorganisierende Systeme: Zellularautomaten, Boolesche Netze und Algorithm for Neighborhood Generating. In: Modellierung komplexer Prozesse durch naturanaloge Verfahren. Springer Vieweg, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-43408-3_3
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-658-43408-3_3
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