Die Exponentialreihe

Zusammenfassung

Wir behandeln jetzt die Exponentialreihe $\exp(x)=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}/n!$, die neben der geometrischen Reihe die wichtigste Reihe in der Analysis ist. Sie konvergiert absolut für alle $x$. Mit der Exponentialreihe definert man die berühmte Eulersche Zahl $e:=\exp(1)=2.718281\dots$. Außerdem beweisen wir einen algemeinen Satz über das sog. Cauchy-Produkt von Reihen, mit dem sich die Funktionalgleichung $\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$ der Exponentialfunktion beweisen lässt.

Aufgaben

8.1

a):

Sei $x\geqslant 1$ eine reelle Zahl. Man zeige, dass die Reihe

$$\begin{gathered}\displaystyle s(x):=\sum_{n=0}^{\infty}\dbinom{x}{n}\end{gathered}$$

absolut konvergiert. (Die Zahlen ${x\choose n}$ wurden in Aufgabe 1.1 definiert.)

b):

Man beweise die Funktionalgleichung

$$\begin{gathered}\displaystyle s(x+y)=s(x)s(y)\quad\text{f{\"u}r alle }x,y\geqslant 1\,.\end{gathered}$$

c):

Man berechne $s(n+\tfrac{1}{2})$ für alle natürlichen Zahlen $n\geqslant 1$.

8.2

Für $n\in\mathbb{N}$ sei

$$\begin{gathered}\displaystyle a_{n}:=b_{n}:={(-1)^{n}\over\sqrt{n+1}}\quad\text{und}\quad c_{n}:=\sum_{k=0}^{n}a_{n-k}b_{k}\,.\end{gathered}$$

Man zeige, dass die Reihen $\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}$ und $\sum_{n=0}^{\infty}b_{n}$ konvergieren, ihr Cauchy-Produkt $\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}$ aber nicht konvergiert.

8.3

Sei $A(n)$ die Anzahl aller Paare $(k,\ell)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ mit

$$\begin{gathered}\displaystyle n=k^{2}+\ell^{2}.\end{gathered}$$

Man beweise: Für alle $x$ mit $|x|<1$ gilt

$$\begin{gathered}\displaystyle\Bigl(\sum_{n=0}^{\infty}x^{n^{2}}\Bigr)^{2}=\sum_{n=0}^{\infty}A(n)x^{n}.\end{gathered}$$

8.4

Sei $M=\{1,2,4,5,8,10,16,20,25,\dots\,\}$ die Menge aller natürlichen Zahlen $\geqslant 1$, die durch keine Primzahl $\neq 2,5$ teilbar sind. Man betrachte die zu $M$ gehörige Teilreihe der harmonischen Reihe und beweise

$$\begin{gathered}\displaystyle\sum_{n\in M}{1\over n}={5\over 2}\,.\end{gathered}$$

Anleitung. Man bilde das Produkt der geometrischen Reihen $\sum 2^{-n}$ und $\sum 5^{-n}$.

8.5

(Verallgemeinerung von Aufgabe 8..) Sei $\mathcal{P}$ eine endliche Menge von Primzahlen und $\mathcal{N}(\mathcal{P})$ die Menge aller natürlichen Zahlen $\geqslant 1$, in deren Primfaktor-Zerlegung höchstens Primzahlen aus $\mathcal{P}$ vorkommen (Existenz und Eindeutigkeit der Primfaktor-Zerlegung sei vorausgesetzt.) Man beweise, dass

$$\begin{gathered}\displaystyle\sum_{n\in\mathcal{N}(\mathcal{P})}{1\over n}=\prod_{p\in\mathcal{P}}\Bigl(1-{1\over p}\Bigr)^{-1}<\infty\,.\end{gathered}$$

Bemerkung

Ist $\mathcal{P}$ die Menge aller Primzahlen, so besteht $\mathcal{N}(\mathcal{P})$ aus allen natürlichen Zahlen $\geqslant 1$. Daraus kann man nach Euler folgern, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Gäbe es nur endlich viele, würde die harmonische Reihe konvergieren.