Lokale Extrema. Mittelwertsatz. Konvexität

Zusammenfassung

Wir kommen zu den ersten Anwendungen der Differentiation. Viele Eigenschaften einer Funktion spiegeln sich nämlich in ihrer Ableitung wider. So kann das Auftreten von lokalen Extrema, die Monotonie und die Konvexität mithilfe der Ableitung untersucht werden. Aus Schranken für die Ableitung erhält man Abschätzungen für das Wachstum der Funktion. In diesem Kapitel behandeln wir auch die Hospital’schen Regeln.

Aufgaben

16.1

Man untersuche die Funktion $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$,

$$\begin{gathered}\displaystyle f(x):=x^{3}+ax^{2}+bx\,,\end{gathered}$$

auf lokale Extrema in Abhängigkeit von den Parametern $a,b\in\mathbb{R}$.

16.2

Man beweise, dass die Funktion

$$\begin{gathered}\displaystyle f\colon\mathbb{R}_{+}\to\mathbb{R}\,,\quad f(x):=x^{n}e^{-x},\quad(n> 0)\,,\end{gathered}$$

genau ein relatives und absolutes Maximum an der Stelle $x=n$ besitzt.

16.3

Man konstruiere eine zweimal stetig differenzierbare Funktion $f:\left]-1,1\right[\to\mathbb{R}$ mit folgenden Eigenschaften:

i):

$f$ hat in 0 ein striktes lokales Maximum.

ii):

Es gibt kein $\varepsilon> 0$, so dass $f$ im Intervall $[0,\varepsilon]$ monoton fallend ist.

iii):

Es gibt kein $\varepsilon> 0$, so dass $f$ im Intervall $[-\varepsilon,0]$ monoton wachsend ist.

16.4

Das Legendresche Polynom $n$-ter Ordnung $P_{n}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ist definiert durch

$$\begin{gathered}\displaystyle P_{n}(x):=\frac{1}{2^{n}n!}\cdot\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right]\,.\end{gathered}$$

Man beweise:

a):

$P_{n}$ hat genau $n$ paarweise verschiedene Nullstellen im Intervall $\mathopen{]}-1,1\mathclose{[}$.

b):

$P_{n}$ genügt der Differentialgleichung

$$\begin{gathered}\displaystyle(1-x^{2})P_{n}^{\prime\prime}(x)-2xP_{n}^{\prime}(x)+n(n+1)P_{n}(x)=0\end{gathered}$$

(Legendresche Differentialgleichung).

Hinweis. Zum Beweis könnten die Formeln aus Aufgabe 15.1 nützlich sein.

16.5

Man beweise, dass jede in einem offenen Intervall $D\subset\mathbb{R}$ konvexe Funktion $f\colon D\to\mathbb{R}$ stetig ist.

16.6

Für $x=(x_{1},\ldots,x_{n})\in\mathbb{C}^{n}$ sei

$$\begin{gathered}\displaystyle\|x\|_{\infty}:=\max\left(|x_{1}|,\ldots,|x_{n}|\right).\end{gathered}$$

Man beweise $\displaystyle\|x\|_{\infty}=\lim_{p\to\infty}\|x\|_{p}\,.$

16.7

Sei $f:I\to\mathbb{R}$ eine im Intervall $I\subset\mathbb{R}$ (nicht notwendig stetig) differenzierbare Funktion. Man zeige: Für die Funktion $f^{\prime}:I\to\mathbb{R}$ gilt der Zwischenwertsatz, d. h. sind $x_{1},x_{2}\in I$ und $c\in\mathbb{R}$ mit $f^{\prime}(x_{1})<c<f^{\prime}(x_{2})$, so gibt es eine Stelle $x_{0}\in I$ mit $f^{\prime}(x_{0})=c$.

16.8

Sei $I\subset\mathbb{R}$ ein offenes Intervall, $x_{0}\in I$ ein Punkt und $f:I\to\mathbb{R}$ eine stetige Funktion, die in $I\smallsetminus\{x_{0}\}$ differenzierbar sei. Es existiere der Limes

$$\begin{gathered}\displaystyle\lim_{x\to x_{0}\atop x\neq x_{0}}f^{\prime}(x)=:c\in\mathbb{R}.\end{gathered}$$

Man beweise, dass $f$ in $x_{0}$ differenzierbar ist mit $f^{\prime}(x_{0})=c$.

16.9

Sei $a\in\mathbb{R}$ und $\varepsilon> 0$. Die Funktion

$$\begin{gathered}\displaystyle f:\left]a-\varepsilon,a+\varepsilon\right[\to\mathbb{R}\end{gathered}$$

sei zweimal differenzierbar. Man zeige

$$\begin{gathered}\displaystyle f^{\prime\prime}(a)=\lim_{h\to 0}{f(a+h)-2f(a)+f(a-h)\over h^{2}}.\end{gathered}$$

16.10

a):

Man beweise den verallgemeinerten Mittelwertsatz:

Sei $a<b$ und seien $f$, $g:[a,b]\to\mathbb{R}$ zwei stetige Funktionen, die in $\left]a,b\right[$ differenzierbar sind. Dann existiert ein $\xi\in\left]a,b\right[$, so dass

$$\begin{gathered}\displaystyle(f(b)-f(a))g^{\prime}(\xi)=(g(b)-g(a))f^{\prime}(\xi).\end{gathered}$$

b):

Mithilfe des verallgemeinerten Mittelwertsatzes gebe man einen anderen Beweis der Hospitalschen Regeln (Satz 16.3).

16.11

Man verallgemeinere die Hospitalschen Regeln (Satz 16.3) auf den Fall, dass in der Voraussetzung statt $\lim\limits_{x\nearrow b}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=c\in\mathbb{R}$ uneigentliche Konvergenz $\lim\limits_{x\nearrow b}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=\infty$ vorliegt. Es folgt dann (in beiden Regeln)

$$\begin{gathered}\displaystyle\lim_{x\nearrow b}{f(x)\over g(x)}=\infty.\end{gathered}$$

16.12

Man zeige, dass folgende Limites existieren und berechne sie:

a):

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\;x\,\cot\,x$,

b):

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\Bigl(\cot x-\dfrac{1}{x}\Bigr)$,

c):

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\Bigl({1\over\sin^{2}x}-{1\over x^{2}}\Bigr)$,

d):

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\Bigl(\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x}\Bigr)$.

16.13

Gegeben sei die Funktion $F_{a}(x):=(2-a^{1/x})^{x}$, $(x\in\mathbb{R}_{+}^{\ast})$, wobei $0<a<1$ ein Parameter sei. Man untersuche, ob die Grenzwerte

$$\begin{gathered}\displaystyle\lim_{x\searrow 0}F_{a}(x)\quad\text{und}\quad\lim_{x\to\infty}F_{a}(x)\end{gathered}$$

existieren und berechne sie gegebenenfalls.

Hinweis. Man betrachte die Funktion $\log F_{a}(x)$.