Konvexe Körper und allgemeine Integralgeometrie

Zusammenfassung

Ein konvexer Körper (Eikörper) ist, wie wir am Schluß von 3.1.1. erklärten, eine beschränkte, abgeschlossene und konvexe Punktmenge. Eikörper, denen innerhalb der mengengeometrischen Entwicklung der Theorie eine besonders ausgezeichnete Bedeutung zukommt, sind die konvexen Polyeder (Eipolyeder), mit denen wir uns schon einläßlich beschäftigten [vgl. 1.1.2]. Verschiedene einfache Begriffe, die im Zusammenhang mit den Eipolyedern erörtert wurden, können sinngemäß auf beliebige Eikörper übertragen werden. So heißt ein Eikörper A mit inneren Punkten eigentlich; ein nichteigentlicher Eikörper A uneigentlich; er liegt ganz in einer Ebene E, so daß A ⊂; E gilt. Die auch schon für beliebige abgeschlossene Mengen eingeführten Begriffe Stützebene, Stützmenge, Stützhalbraum und Stützabstand können wir unmittelbar übernehmen [vgl. 4.1.1]; sie spielen in der Geometrie der konvexen Körper eine besonders wichtige Rolle. Ohne auf die exakten Nachweise einzugehen, erwähnen wir einige anschauliche Grundtatsachen. Ein Eikörper A ist der Durchschnitt seiner inneren Stützhalbräume. Zwei disjunkte Eikörper A und B lassen sich durch eine Ebene E separieren, so daß A und B im Inneren der beiden durch E erzeugten offenen Halbräume liegen. Durch einen Randpunkt p ∈ Â; eines Eikörpers A läßt sich wenigstens eine Stützebene hindurchlegen; p heißt regulär oder singulär, je nachdem p eine oder mehr als eine Stützebene gestattet. Eine Stützmenge, die bezogen auf die Stützebene „innere“ Punkte aufweist, ist eine Flachstelle. Liegt der Ursprung Z im Eikörper A, so ist der Stützabstand h (A,u) eine nichtnegative und stetige Funktion (Stützfunktion) der Richtung u der Richtungssphäre S. Die einem Eikörper A angehörenden Punkte p können durch das kontinuierliche Ungleichungssystem

$$\begin{array}{*{20}{c}} {(p,u)\; \le h(A,u)}&{[p \in {\mkern 1mu} A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} u \in S]} \end{array}$$

charakterisiert werden.