Der Poissonsche Grenzwertsatz und seine Verallgemeinerung

Zusammenfassung

Die ursprüngliche Laplacesche Form des im ersten Kapitel behandelten zentralen Grenzwertsatzes der Wahrscheinlichkeitsrechnung bezieht sich, wie übrigens daselbst (am Ende von § 1) erwähnt war, auf das sog. Bernoullische Schema, welches historisch als der Ausgangspunkt aller infinitesimalen wahrscheinlichkeitstheoretischen Betrachtungen angesehen werden muß. Wenn eine unbegrenzte Reihe von gegenseitig unabhängigen Ereignissen

$${E_{1}},{E_{2}}, \ldots ,{E_{n}}, \ldots $$

vorliegt¹, deren jedes die Wahrscheinlichkeit p besitzt, so wird die Wahrscheinlichkeit dafür, daß unter den n ersten von diesen Ereignissen genau m eintreten, durch die Newtonsche Formel

$$P_n (m) = \left( {\begin{array}{*{20}c} n \\ m \\ \end{array} } \right)p^m (1 - p)^{n - m}$$

((1))

ausgedrückt. Wächst hierbei n ins Unendliche, so entsteht eine Anzahl von Grenzwertproblemen, deren wichtigstes eben das Laplacesche Problem ist: die Wahrscheinlichkeit der Ungleichung¹

$$m - n\rho < x\sqrt {{n\rho (1 - )}} $$

als Funktion von x asymptotisch abzuschätzen.