Splines

Zusammenfassung

Die Polynominterpolation ist im Allgemeinen kein geeignetes Verfahren zur numerischen Approximation von Funktionen. Dies gilt insbesondere dann, wenn viele Stützstellen zu interpolieren sind und der Polynomgrad entsprechend groß ist. Deshalb betrachten wir in diesem Kapitel stückweise polynomiale Approximationen niedriger Ordnung, welche aber möglichst glatt miteinander verklebt werden.

Übungsaufgaben

Aufgabe 19.1

(kubischer Spline) Bestimmen Sie $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ so, dass die Funktion $s_{\alpha ,\beta }:[-1,2]\rightarrow \mathbb {R}$, definiert durch

$$ s_{\alpha ,\beta }(x)\mathrel {\mathrel {\mathop :}=}\left\{ \begin{array}{lr} (x+1)^4+\alpha (x-1)^4+1, &{} -1 \le x \le 0, \\ -x^3 - 8 \alpha x + 1, &{} 0< x \le 1, \\ \beta x^3 + 8 x^2 + \frac{11}{3}, &{} 1<x\le 2, \end{array} \right. $$

ein kubischer Spline bezüglich des Gitters $\Delta \mathrel {\mathrel {\mathop :}=}\{ -1, 0, 1, 2 \}$ ist.

Aufgabe 19.2

(kubische Spline-Interpolation) Bestimmen Sie die Koeffizienten des kubischen Splines

$$ s(x)=\sum _{j=-1}^3 \alpha _{j} B_3(x-j), \quad x \in [0,2] $$

durch die Stützpunkte

$$ \begin{array}{c| c c c} i &{} 0 &{} 1 &{} 2\\ \hline x_i &{} 0 &{} 1 &{} 2\\ y_i &{} 6 &{} 17/3 &{} 4 \end{array} $$

mit den natürlichen Randbedingungen $s''(0)=s''(2)=0$.

Aufgabe 19.3

(Partition der Eins) Zeigen Sie, dass die B-Splines eine Partition der Eins  bilden, das heißt, zeigen Sie, dass

$$ \sum _{k\in \mathbb {Z}} B_m(x-k) = 1 $$

für alle $x\in \mathbb {R}$ und $m\in \mathbb {N}$ gilt.

Aufgabe 19.4

(quadratische Spline-Interpolation) Auf dem Intervall [0, 4] sei durch

$$ s(x) = \sum _{j=-1}^{5} \alpha _{j} B_2(x-j) $$

ein 4-periodischer (also $\alpha _{-1}=\alpha _3$, $\alpha _{0}=\alpha _4$ und $\alpha _1=\alpha _5$), quadratischer Spline zum Gitter $\Delta = \{1/2,3/2,5/2,7/2\}$ gegeben. Stellen Sie das Gleichungssystem für die Koeffizienten dieses Splines auf, damit er gegebene Daten $y_k$, $k\in \{0, 1, 2, 3\}$,

• a) in den Knoten $(k+1/2, y_k)$ interpoliert und

• b) in den Knoten $(k, y_k)$ interpoliert.

Zeigen Sie, dass im ersten Fall die resultierende Systemmatrix singulär ist.