Abstract
Jean-Victor Poncelet (1788–1867) is known as a geometer whose mathematical contributions were crucial for the development of what would later become projective geometry. In this chapter, we focus on his practice of mathematics, and notably on the fact that Poncelet systematically intertwined mathematical activity with both historical and philosophical reflections about mathematics. Indeed, many practitioners of mathematics at the time, most of whom Poncelet was in contact with, also conducted historical work on mathematics and wrote on the philosophy of mathematics. However, we argue that, in this context, Poncelet’s practice of mathematics was unique, being characterized by an intimate interrelation between these three fields of inquiry. Our aim here is more specifically to shed light on the sha** of Poncelet’s practice. We suggest that his training at the École Polytechnique, between 1807 and 1810, played an important role in this respect. Our argument unfolds in three main steps. We point out characteristic features of the training of students at the École Polytechnique that, in our view, left a hallmark on Poncelet’s mathematical practice. We particularly bring to the fore the importance given to collective work and to reading in students’ learning (Part 2). In this respect, two aspects were instrumental: the constitution of a collection of books at the library of the École—which aimed to be a collection of reference for “the arts and the sciences”—and the production of historical works that relied on this collection and were thought to be useful for the learning and the advancement of mathematics (Part 3). Lastly, we focus on the journal established at the École in 1804, Correspondance pour l’École Polytechnique à l’usage des élèves de cette école, which reflects several aspects of the life at the École. We argue that the journal gives clues about how, like teachers, students were encouraged to practice mathematics, in particular geometry, in relation to elements of their history (Part 4). This publication shows how this interest in history meshes with an emphasis on the comparison between methods. It also indicates that former students continued to practice mathematics in this way.
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Notes
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(Didion 1869: 49–59) gives a complete bibliography of Poncelet’s works that shows this shift in his publications. The reader will also find in this book a biography of Poncelet.
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Poncelet joined the Grande Armée on June 17, 1812, and the Russian army took him prisoner on November 18, 1812. (Didion 1869: 109, 116). He arrived in Saratoff in March 1813 and began his first notebook in April 1813 (Poncelet 1862: 1). Irina Gouzévitch and Dimitri Gouzévitch (1998) deal with this period of Poncelet’s life and also compare the remaining manuscript of the first notebook with the published text; (Belhoste 1998) offers a survey of Poncelet’s mathematical work in these notebooks.
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This is less true of the Saratoff manuscripts, for reasons to which we return. The archives of the École Polytechnique keep many notes taken by Poncelet, on the basis of his reading of historical mathematical works.
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On Jacques Frédéric Français and his brother François (1768–1810), see (Taton 1970–1980a). Poncelet referred to the former as his teacher (Poncelet 1864: 107, 120, 593) and kept in touch with Jacques Frédéric after his return to Metz in 1814. He also commented on Français’s 1813 publication (Français, 1813–1814, Poncelet 1864: 592–594, 197). Poncelet showed Français his drafts, and Français lent him precious books from the library of ancient books and manuscripts–notably mathematical–collected by Louis François Antoine Arbogast (1759–1803), which Français inherited. To get a sense of the scope of the library, see (Anonymous 1823).
- 7.
(Servois 1814–1815). On the relationships between the three men, see (Poncelet 1864: 32). Poncelet asserted that, as early as September 1814, he had communicated with Français about his Saratoff manuscripts, and shortly thereafter with Servois (Poncelet 1822: v–vi; 1864: 469). On Servois, see (Taton 1970–1980b).
- 8.
Somehow, Gergonne perceived the close intricacy between mathematics and philosophy that Poncelet’s work represents as well as the related depth of Poncelet’s contribution (Gergonne 1826–1827). The fact that the text is part of the polemical exchanges between the authors about the priority dispute they had about duality should not overshadow Gergonne’s appreciation of Poncelet’s contribution. Poncelet (1866: 390–393) quotes this article in extenso.
- 9.
(Chasles 1837). As shown in (Chemla 2016), like Poncelet, Chasles developed a reflection on the reasons why analytical approaches to geometry had the virtues of generality and uniformity, aiming to find means of endowing geometrical approaches with similar virtues. His mathematical and philosophical endeavor was rooted in the historical reflection that he carried out on methods in geometry, starting from ancient Greek geometrical texts.
- 10.
On the establishment of the École Polytechnique, its early history as well as its international impact, see (Belhoste 2003).
- 11.
- 12.
On this savant and his lectures of, as well as his treatises on, analysis, see (Caramalho Domingues 2008).
- 13.
On the lecture courses of analysis, see (Belhoste 2003, Chap. 8). (Caramalho Domingues 2008: 403–422) reproduces several documents that shed light on the evolution of Lacroix’s lectures. A partial outline of the first year during which he taught (1799–1800, after Lagrange resigned) shows Lacroix relying on his Traité du calcul différentiel et du calcul intégral (three large volumes, 1797–1800). Starting in 1805 for the first year and in 1806 for the second year, Lacroix was teaching according to an official programme (pp. 417–420). His actual lectures for the first year (1805–1806) and for the second year (1806–1807) were summarized by an inspecteur des élèves so that they could be used by Ampère, when in 1808, the latter started lecturing.
- 14.
(Belhoste 1994: 37–58) reproduces this text as document 4 and establishes (pp. 10–13) that Monge completed it on ca. July 8, 1794. About 10 days later, a revision of the end of the text of the founding decree was put forward by Jacques-Élie Lamblardie (1747–1797), the then director of the École des ponts et chaussées (see document 6, pp. 66–70). Our page numbers for this article refer to the online version posted here: https://www.sabix.org/bulletin/b11/belhoste.pdf (accessed August 15, 2022). The final decree was promulgated on the 6 Frimaire year 3 (November 26, 1794). In what follows, we rely on these documents. For a more nuanced account, we refer the reader to this article.
- 15.
At the time when Poncelet was a student, the Council had been divided into three different Councils. The institution corresponding to a similar composition as the initial Council was the Instruction Council (Conseil d’Instruction), responsible for “everything related to the teaching and the students’ study” (Belhoste 2003: 50).
- 16.
For the composition of the Council, see (Belhoste 2003: 52). Halma signed minutes of the Council as early as 12 Germinal year 4 (April 1, 1796) (Dooley n.d., vol.1: 189–190). (Dooley 1994) publishes extracts of the minutes of the Council. However, we draw on (Dooley n.d.) in two volumes, which reproduce the minutes extensively. (Fourcy 1828: 94, 125–126), respectively, outlines the function of the secretary and explains the circumstances and the date when both positions were merged.
- 17.
See also (Poncelet 1862: 460–461).
- 18.
- 54.
For Peyrard’s biography, and his actions as a librarian, we draw on (Langins 1989) as well as on (Pepe 1996). (Pepe 1996: 163–166) deals with Peyrard as a librarian. (Pepe 1996: 180–185) reproduces an extract—concentrating on mathematical books — of the library’s inventory completed by Peyrard on 27 Germinal year 4 (April 16, 1796). (Anonymous 1892: 128–129, fn 2) outlines a biography of Peyrard and gives a substantial bibliography of his works. (Anonymous (P. L. B.) 1893) offers a biography that reproduces important documents on François Peyrard, in particular the public lecture courses in mathematics that Peyrard gave at the end of the 1780s. We could not identify the author to whom the initials P.L.B. refer.
- 55.
- 56.
(our emphasis) “il est vrai de dire que l’on n’avait pas encore le commencement de la bibliothèque qui existe aujourd’hui et qui renferme presque tous les bons livres anciens et modernes relatifs aux sciences et aux arts.” Quoted in (Langins 1989).
- 57.
Bradley’s translation (Bradley 1976: 169) and our emphasis. The original is quoted in note 21, p. 177: “Tous les ouvrages de la Bibliothèque de l’Ecole Polytechnique sont classés par ordre de format, par ordre de matière et par ordre chronologique. Je désirerais qu’on en fit (sic) dresser un inventaire conforme cette classification... un catalogue par ordre de matière et par ordre chronologique des meilleurs ouvrages... offrirait par conséquent le tableau abrégé des connaissances humaines.”
- 58.
On 28 Vendémiaire year 7 (October 19, 1798), the minutes of the Council meeting report that books and objects coming from Italy were given to the school and distributed to the appropriate services in the École, including the library.
- 59.
(Poncelet 1862: 457). “Il est regrettable que cet habile professeur n’ait pas mis à profit sa position à notre mère École, pour élucider la partie historique de cette intéressante question.”
- 60.
- 61.
(Peyrard 1804: ix), our emphasis. “Lorsque je fus nommé Bibliothécaire de l’Ecole Polytechnique, je formai le projet de donner au public une traduction littérale des Œuvres d’Euclide et d’Archimède, les deux plus grands Géomètres de l’antiquité. Je pensois qu’il étoit en quelque sorte de mon devoir de consacrer mes momens de loisir à des travaux qui fussent analogues à ceux de l’Ecole Polytechnique.”
- 62.
- 63.
Quoted following Langins (1989) and adding emphasis. “La délibération d’acheter un exemplaire de l’édition d’Archimède d’Oxford pour la bibliothèque (action suggérée par Peyrard) fournit à plusieurs membres l’occasion de développer les avantages qui résulteraient pour l’utilité des élèves, pour l’avancement des sciences exactes et pour la gloire de l’École si d’après un plan régulier et bien combiné elle parvenait à se procurer les traductions des anciens auteurs grecs et latins dans lesquelles les Professeurs de l’École auraient concouru avec les plus savants littérateurs pour établir le véritable texte, le rendre fidèlement en y ajoutant les notes nécessaires ou intéressantes que leur fourniraient (sic) l’étude plus immédiate de ces auteurs.”
- 64.
It seems that in the 1807 edition, Torelli is mentioned only through a letter by Delambre, which Peyrard reproduces. However, in the notes to the second edition of Archimedes’ works in 1808, Peyrard refers to Torelli’s critical notes on several occasions. One would need to study on the basis of which edition Peyrard carried out his translation and how the 1808 edition differs from the 1807 one.
- 65.
(Guoyt de Fère and François-Fortuné 1858).
- 66.
- 67.
- 68.
(Halma 1813–1816: I) “Quel fruit peut-on retirer de la Composition Mathématique de Ptolémée, au degré de perfection où l’astronomie est aujourd’hui parvenue? Quelle sera l’utilité d’une nouvelle traduction de ce Livre, après les deux versions latines que nous en avons depuis long-temps? Et n’est-ce pas faire rétrograder la science, que de la ramener, pour ainsi dire, à son berceau?”
- 69.
(Halma 1813–1816: V-VI, our emphasis). Needless to say, the modern language to which Halma refers as the language enjoying universality is French. “C’est donc, au lieu de rallentir (sic) les progrès de la science, l’éclairer au contraire dans sa marche, que de publier, de l’ouvrage qui en expose les premiers pas assurés, ou les premières opérations dirigées par l’esprit de méthode et de calcul qui y règne, une traduction exempte des fautes justement reprochées à ces deux versions. (…). Et puisque la science est intéressée à trouver dans une interprétation exacte du sens de notre auteur, les observations qu’il rapporte et les méthodes qu’il emploie, celle des langues modernes [that is, French] à laquelle les trésors de sa littérature ont assuré l’universalité qu’avoient eue autrefois la langue grecque en orient, et la langue latine dans l’occident, étoit la plus propre à répandre partout la connoissance de ces observations dont on ne peut se passer, et de ces méthodes toujours étudiées avec fruit.”
- 70.
(Poncelet 1864: 255). “… dont les plus simples avaient déjà occupé les Anciens (*).”
- 71.
(Poncelet 1864: 255). Italics in the original text. “Cette classe fort étendue comprend non-seulement la conchoïde de Nicomède, la cissoïde de Dioclès, la spirale de Conon et d’Archimède, mais un grand nombre d’autres lignes à circonvolutions simples ou multiples, dont je me suis occupé avec une sorte de persévérance exclusive, pendant mon séjour en 1808 et 1809 à l’École Polytechnique, à propos des recherches sur …”.
- 72.
- 73.
- 74.
We give a single example: (Poncelet 1822: 78).
- 75.
(Hachette (ed.) 1808: 191–193, in particular p. 193).
- 76.
As early as 1794, Monge had put forward this problem to the “students-instructors,” whom he trained to become the chefs de brigade of the first promotion (Belhoste 2009).
- 77.
The book in question is in the old collection of the library of the École Polytechnique, but Hachette does not give its title: Varia Opera mathematica D. Petri de Fermat, senatoris Tolosani. Accesserunt selectae quaedam ejusdem epistolae, vel ad ipsum a plerisque doctissimis viris Gallicè, Latine, vel Italice, de rebus ad Mathematicas disciplinas, aut physicam pertinentibus scriptae, 1679, Toulouse: J. Pech. The quotation is in (Hachette (ed.) 1808: 8).
- 78.
(Hachette (ed.) 1808: 17–28).
- 79.
(Hachette (ed.) 1808: 245–246).
- 80.
(Hachette (ed.) 1808: 305–307).
- 81.
(Hachette (ed.) 1808: 193–195).
- 82.
- 83.
(Hachette (ed.) 1814: 24) mentions Gaultier’s work in relation to Roberval’s method, and gives an outline on pp. 27–28 and 87–93.
- 84.
(Hachette (ed.) 1808: 41–51).
- 85.
On stereotomic drawing, see (Sakarovitch 1998).
- 86.
(Hachette (ed.) 1814: 22–27).
- 87.
(Hachette (ed.) 1808: 148–151).
- 88.
(Hachette (ed.) 1808: 193) mentions yet other types of solution to the problem.
- 89.
(Hachette (ed.) 1814: 281–289).
- 90.
(Hachette (ed.) 1808: 86–88).
- 91.
“Hiéron, roi de Syracuse, écrit au géomètre Archimède, son parent et son ami, pour l’engager à ne pas faire de la géométrie une science purement intellectuelle et spéculative, mais à l’appliquer à des inventions utiles, par exemple, à construire des machines de guerre pour se défendre contre les Romains qui menacent
Syracuse.
Archimède y consent, et promet au roi des machines dont l’effet sera sûr et prodigieux Lettre d’Hiéron et réponse d’Archimède.
(Voyez Plutarque, Tite-Live, Polybe, etc.)” (p. 88, italics in the original).
- 92.
See the digitized version of Papiers divers du chevalier de Paravey (1871). V. Documents sur l’École polytechnique at the link: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b10090440m/f7.item.r=catalogue%20de%20la%20bibliothèque%20de%20l'Ecole%20polytechnique (accessed on August 5, 2022). The letter attributed to Hiéron is on pp. 14–15 of the pdf, and the answer attributed to Archimedes is on pp. 15–16. After the École Polytechnique, Paravey entered the ponts et chaussées École d’application, and there too, he was asked to compose texts on topics relating to the history of science. One such topic reads (see the same set of documents on p. 23): “Ecole des ponts et chaussées. Concours du 28 mars 1809: de la manière d’écrire l’histoire des sciences et des arts, soit dans les ouvrages où elle est réunie à l’histoire politique des peuples, soit dans les ouvrages dont elle constitue l’objet spécial. Nota. Un des points importants de la question proposée consiste à examiner comment une histoire bien faite des sciences et des arts est un moyen de les propager, d’en préparer et d’en hâter les progrès.” See his composition on pp. 23–25.
- 93.
“Viviani, élève de Galilée, défend son maître devant l’inquisition, à Florence, en 1633. Galilée étoit accusé d’hérésie pour avoir enseigné et soutenu le mouvement de la terre autour du soleil.
Discours.
(Voyez Laplace, Exposition du système du monde, liv. 5; Histoire de l’astronomie moderne).” (p. 89, italics in the original).
- 94.
After a letter to Hachette on April 17, 1807, which the latter published (Hachette (ed) 1808: 320–321), Français sent an article that would be published in the issue of January 1808 (Hachette (ed) 1808: 337–349). The last pages of the article return to a problem raised earlier by Hachette. In the issue of January 1810, Français has two articles published. The first offers yet another solution to Fermat’s problem (Hachette (ed) 1814: 63–69). The second (Hachette (ed) 1814: 69–70) is devoted to the problem for which Poncelet claims to have given, in 1809, with Guillebon, a much better solution to the students of their study room. This is the topic of the third manuscript published in his “Memories from the École Polytechnique (1809–1810),” Poncelet (1862: 456-461). In it, Poncelet criticizes explicitly the methods published by Hachette and Français, among others.
- 95.
(Hachette (ed.) 1808: 281–289).
- 96.
(Hachette (ed.) 1808: 309). “il est sans doute curieux de retrouver dans plusieurs auteurs anciens, notamment dans Pappus, quelques traces de ce genre de recherches.”
- 97.
(Hachette (ed.) 1814: 386–387).
- 98.
(Hachette (ed.) 1814: 257–260).
- 99.
Hachette, “Du Contact des sphères par Fermat, traduit par M. Hachette”, Journal de l’Ecole Polytechnique, septième et huitième cahier, second volume, 1812, pp. 279–289.
- 100.
(Poncelet 1822: xxxvii–xxxviii).
- 101.
- 102.
“Le but de ce livre, quelque volumineux qui il paraisse, est moins de multiplier le nombre de ces propriétés que d’indiquer la route que l’on doit suivre. En un mot, j’ai cherché, avant tout, à perfectionner la méthode de démontrer et de découvrir en simple Géométrie.”
- 103.
Gaultier (1813: 126)—also a former student of the École—repeats exactly the same references.
- 104.
“…car, il est bon ici de le répéter, ce qui intéresse le plus dans l’histoire et la philosophie des sciences, c’est la route par laquelle l’esprit humain est parvenu à la découverte des vérités fondamentales.” “Extrait des Comptes rendus de l’Académie des Sciences, t. XVI, 1843, p. 947 à 964,” quoted in (Poncelet 1866: 346). Our emphasis.
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Acknowledgements
It is a tremendous pleasure for us to dedicate this chapter to our friend Jeremy, whose affection and constant support throughout the years have enlightened our lives. Our most sincere thanks go to the Fondation des Treilles, thanks to whom we could write this chapter during a research stay (September–October 2022). We are also grateful to Qianqian Feng, Richard Kennedy, as well as to the editors of the book and to the two readers, whose comments helped us improve our argument.
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Belhoste, B., Chemla, K. (2023). Mathematics, History of Mathematics and Poncelet: The Context of the Ecole Polytechnique. In: Chemla, K., Ferreirós, J., Ji, L., Scholz, E., Wang, C. (eds) The Richness of the History of Mathematics. Archimedes, vol 66. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-031-40855-7_2
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