Abstract
This chapter contains a case study of the work and self-understanding of two important mathematicians during the rise of modern mathematics: Felix Hausdorff (1868–1942) and Hermann Weyl (1885–1955). The two had strongly diverging positions with regard to basic questions of the methodology and nature of mathematics, reflected in the style and content of their research. Herbert Mehrtens (1990) describes them as protagonists of what he sees as the two opposing camps of “modernists” (Hilbert, Hausdorff et al.) and “countermodernists” (Brouwer, Weyl et al.). There is no doubt that Hausdorff may be described as a mathematical “modernist”, while the qualification of Weyl as “countermodern” seems off the mark, once his work is taken into account.
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Notes
- 1.
The first reading resonates with Mehrtens’ way of presenting mathematics as a language, organized in two levels of discourse: the discourse of mathematics in the production, repectively documentation of knowledge, and the discourse on (about) mathematics, a meta-discourse which may include the foundational studies in the sense of Hilbert (Mehrtens 1990, chap. 6). A non-anonymous referee (N. Schappacher) of the present paper opts for the second alternative.
- 2.
No social, political, or cultural revolution ever happened without having to fight counter-revolutionary forces.
- 3.
For a discussion of Brouwer see the contribution of José Ferreirós to this volume.
- 4.
- 5.
For Weyl there is nothing close to a full biography like the one for Hausdorff, written by Brieskorn and Purkert. An intellectual biography of his early years (until 1927) can be found in (Sigurdsson 1991) and (Rowe 2002), a documentation of his time in Zürich in (Frei and Stammbach 1992). For more extensive scientific biographies see (Coleman and Korté 2001; Chevalley and Weil 1957; Newman 1957; Atiyah 2002; Dieudonné 1976).
- 6.
Weyl (1955a, p. 632f.).
- 7.
The impression Hilbert’s approach to he foundations of geometry made on the young student Weyl at Göttingen was described by himself in hindsight: Hilbert examines the independence of the axioms of geometry “…not only by drawing on the so-called non-Euclidena geometry, then nearly a century old, but by constructing, mostly on an arithmetical basis, a plethora of other strange geometries. Kant’s bondage to Euclidean geometry now appeared naive. Under the overwhelming blow, the structure of Kantian philosophy, on which I had hung with faithful heart, crumbled into ruins” (Weyl 1955a, English, p. 206). Weyl was much more critical with respect to Hilbert’s later extension of the axiomatic method to the natural sciences, beautifully described in Corry (2004).
- 8.
- 9.
Hausdorff was well aware that Zermelo’s axiom of choice was an important contribution to the clarification of the foundations of transfinite set theory, but considered this as a step only in a larger enterprise which had not come to an end, and to which the study of transfinite numbers ought still to contribute; see Brieskorn and Purkert (2021, chap. 7.3) and the remark at the end of their sec. 7.2.1.
- 10.
This list is a a selection of the survey of Hausdorff’s main contributions to set theory in (Brieskorn and Purkert 2021, p. x). For more details see there.
- 11.
In Jed Buchwald’s contribution to this volume “gauging” is discussed in the pre-Weylian perspective of under-determination of the electromagnetic potential (decomposed in its scalar and its vector part) up to exact differentials as a history of “gauge” ante letteram. We learn from it that important physical questions of this under-determination have been posed and answered long before the explicit concept of gauge was introduced; for the later development see, among others, (O’Raifeartaigh 1997; O’Raifeartaigh and Straumann 2000).
- 12.
Hilbert hoped to be able to build a consistency proof for large parts of mathematics including full Peano arithmetic and real analysis on it between his talk at the International Congress of Mathematicians in 1904 until his lecture course on logic in 1920 (Sieg 2000).
- 13.
Also in Hilbert (1903a, appendix IV).
- 14.
- 15.
“Deutlicher tritt dadurch der Raum als Form der Erscheinungen seinem realen Inhalt gegenüber: der Inhalt wird gemessen, nachdem die Form willkürlich auf Koordinaten bezogen ist. [Die Mengenlehre, kann man sagen, geht darin noch weiter; sie reduziert die Mf auf eine Menge schlechthin und betrachtet auch den stetigen Zusammenhang schon als ein in ihr bestehendes Feld. Es ist aber wohl sicher, daß sie dadurch gegen das Wesen des Kontinuums verstößt, als welches seiner Natur nach gar nicht in eine Menge einzelner Elemente zerschlagen werden kann. Nicht das Verhältnis von Element zur Menge, sondern dasjenige des Teiles zum Ganzen sollte der Analyse des Kontinuums zugrunde gelegt werden. Wir kommen darauf sogleich zurück.]” (Weyl 1925/1988, §37).
- 16.
Ferreirós (2016) calls this a “pointillist” view of the continuum, see in particular the discussion in chap. 10.4.
- 17.
This is nicely demonstrated in his lecture course on Axiomatic in the winter semester at Göttingen (Weyl 1930/1931).
- 18.
“Nachdem wir das Kontinuum in isolierte Punkte zerrissen haben, fällt es jetzt schwer, den auf der Unselbständigkeit der einzelnen Punkte beruhenden Zusammenhang nachträglich durch ein begriffliches Äquivalent wieder herzustellen” (Weyl 1918a, 79). The translation in (Weyl 1987, 103f.) suppresses the details “ex post” and the proxy character of the “conceptual equivalent”.
- 19.
“Es ist das unsterbliche Verdienst Georg Cantors, diesen Schritt in die Unendlichkeit gewagt zu haben, unter inneren wie äußeren Kämpfen gegen scheinbare Paradoxien, populäre Vorurteile, philosophische Machtsprüche (infinitum actu non datur), aber auch gegen Bedenken, die selbst von den größten Mathematikern ausgesprochen waren. Er ist dadurch der Schöpfer einer neuen Wissenschaft, der Mengenlehre geworden, die heute das Fundament der gesamten Mathematik bildet. An diesem Triumph der Cantorschen Ideen ändert es nach unserer Ansicht nichts, daß noch eine bei allzu uferloser Freiheit der Mengenbildung auftretende Antinomie der vollständigen Aufklärung und Beseitigung bedarf.” (Hausdorff 1927, 11, Werke 3, 55).
- 20.
“Es ist Ihnen sogar geglückt, die Orakelsprüche der Herren Brouwer und Weyl verständlich zu machen – ohne dass sie mir nun weniger unsinnig ercheinen! Sowohl Sie als auch Hilbert behandeln den Intuitionismus zu achtungsvoll; man müsste gegen die sinnlose Zerstörungwuth dieser mathematischen Bolschewisten einmal gröberes Geschütz auffahren! …” (Hausdorff 2002–2021, vol. 9, 293).
- 21.
“Uns fehlt eine Selbstkritik der Wissenschaft; Urtheile der Kunst, der Religion, des Gefühls über die Wissenschaft sind so zahlreich wie unnütz. Vielleicht ist dies die letzte Bestimmung der Mathematik.” (Mongré 1897, Aph. 401).
- 22.
“…von dem gütigen, maßvollen, verstehenden Freigeist Nietzsche und von dem kühlen, dogmenfreien, systemlosen Skeptiker Nietzsche und von dem Triumphator des Ja-und Amenliedes, dem weltsegnenden, allbejahenden Ekstatiker Zarathustra” (Brieskorn and Purkert 2021, 181).
- 23.
“In Nietzsche glüht ein Fanatiker. Seine Moral der Züchtung, auf unserem heutigen Fundamente biologischen und physiologischen Wissens errichtet: das könnte ein weltgeschichtlicher Skandal weden, gegen den Inquisition und Hexenprozeß zu harmlosen Verirrungen verblassen” (Brieskorn and Purkert 2021, 180).
- 24.
“Damit sind die Brücken abgebrochen, die in der Phantasie aller Metaphysiker vom Chaos zum Kosmos herüber und hinüber führen, und ist das Ende der Metaphysik erklärt, – der eingeständlichen nicht minder als jener verlarvten, die aus ihrem Gefüge auszuscheiden der Naturwissenschaft des nächsten Jahrhunderts nicht erspart bleibt” (Mongré 1898a, 209; 7, 803).
- 25.
Man “…vollzieht einen Act der Reinlichkeit, mit dem jedes scheidende Jahrhundert sich seinem Nachfolger empfehlen sollte” (Mongré 1898b, Werke 7, 352).
- 26.
“Nietzsche hat immer befürchtet, dass Europa an einer Hysterie des Mitleids zugrunde gehen würde: man kann nicht behaupten, dass diese Diagnose sehr zutreffend war” (Hausdorff an J. Käfer, 2. Jan. 1941, (Hausdorff 2002–2021, vol. 9, 357)).
- 27.
“…mit einem Ruck war ich aus dem dogmatischen Schlummer’ erwacht, war dem Geist des Knaben auf radikale Weise die Welt in Frage gestellt” (Weyl 1955a, 4, 632).
- 28.
The closest approximation to such a short characterisation can be found in section 1, “Der Formalism”, of an unpublished fragment (Hausdorff 1904/2021) written about 1904, in particular folio 4ff, vol. 6, p. 474ff.
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Acknowledgements
I thank Walter Purkert, Norbert Schappacher, José Ferreirós, Lizhen Ji, **ze Du, Matthias Kreck and David Rowe for their often detailed and valuable comments to preliminary versions of this chapter.
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Scholz, E. (2023). Mathematical Modernism, Goal or Problem? The Opposing Views of Felix Hausdorff and Hermann Weyl. In: Chemla, K., Ferreirós, J., Ji, L., Scholz, E., Wang, C. (eds) The Richness of the History of Mathematics. Archimedes, vol 66. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-031-40855-7_19
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