Quantum field theory off null planes

Summary

The initial-value problem for hyperbolic differential equations with the initial data given on a null plane in Minkowski space is considered in detail for the Klein-Gordon and Dirac equations. Existence and uniqueness theorems are given. The quantum field-theoretic analogue involves the commutation relations on the null plane and the null translation operator off that plane. The formal theory of interacting fields is stated briefly in the Feynman-Dyson spirit. It is pointed out that an interaction that involves the null co-ordinate derivative of the field in the direction off the initial plane leads to additional complications.

Riassunto

Si considera in dettaglio per le equazioni di Klein-Gordon e Dirac il problema dei valori iniziali per le equazioni differenziali iperboliche con i dati iniziali in un piano nullo nello spazio di Minkowski. Si espongono i teoremi di esistenza e unicità. L’analogo per la teoria dei campi quantici comporta l’uso di relazioni di commutazione sul piano nullo e dell’operatore di traslazione nulla fuori di quel piano. Si enuncia brevemente la teoria formale dei campi interagenti, nello spirito della teoria di Feynman-Dyson. Si mettono in evidenza le complicazioni ulteriori che sorgono dalla derivata della coordinata nulla del campo nella direzione al di fuori del piano iniziale.

Реэюме

Для уравнений Клейна-Гордона и Дирака подробно рассматривается проблема начальных эначений для гиперболических дифференциальных уравнений с эаданными начальными данными на нулевой плоскости в пространстве Минковско-го. Приводятся теоремы сушествования и единственности. Теоретический аналог квантового поля включает коммутационные соотнощения на нулевой плоскости и оператор нулевых трансляций вне зтой плоскости. В смысле Фейнмана-Дайсона вкратце формулируется формальная теория вэаимодействуюших полей. Отмечается, что вэаимодействие, которое включает нулевую координатную проиэводную поля в направлении от начальной плоскости, приводит к дополнительным усложнениям.