Chiral Lagrangians and pion-field redefinition

Summary

An explicit solution of the differential equation for Weinberg’s class of chiral Lagrangians, with arbitraryf(π ²), is given here. On the contrary, for any given symmetry-breaking term the explicit solution of the correspondingf(π ²) is not found. We also construct here a chiral Lagrangian which has the advantage of satisfying the «special» PCAC and of being independent of field redefinition and further the corresponding explicit solution off(π ²) is found. Two examples, corresponding toN=1, 2 in Weinberg’s class are discussed. The π-π scattering lengths calculated from our proposed Lagrangian agree with Schwinger’s results.

Riassunto

Si presenta una soluzione esplicita dell’equazione differenziale per la classe di Weinberg delle lagrangiane chirali, conf(π ²) arbitrario. Per un termine qualunque che rompa la simmetria, invece, non si è trovata la soluzione esplicita della corrispondentef(π ²). Si costruisce anche una lagrangiana chirale che ha il vantaggio di soddisfare la PCAC «speciale» e di essere indipendente dalla ridefinizione del campo; si trova inoltre la corrispondente soluzione esplicita dif(π ²). Si discutono due esempi corrispondenti adN=1, 2 nella classe di Weinberg. Le lunghezze di scattering π-π ottenute con la lagrangiana proposta in questo articolo concordano con i risultati di Schwinger.

Реэюме

В работе приводится точное рещение дифференциального уравнения для Вейнберговского класса чиральных лагранжианов, с проиэвольнымf(π ²). Однако, для любого эаданного члена, нарущаюшего симметрию, точное рещение для соответствуюшегоf(π ²) не найдено. Мы также конструируем чиральный лагранжиан, который имеет то преимушество, что удовлетворяет « специальной » PCAS и не эависит от нового определения поля. Затем находится соответствуюшее точное рещение дляf(π ²). Обсуждаются два примера, соответствуюшиеN=1,2 в классе Вейнберга. Вычисленные длины π-π рассеяния, исходя иэ предложенного нами лагранжиана, согласуются с реэультатами Щвингера.