Jordan domains with a rectifiable arc in their boundary

Abstract

We show that if an open arc J of the boundary of a Jordan domain ${\varOmega }$ is rectifiable, then the derivative $\varPhi '$ of the Riemann map $\varPhi :D\;\rightarrow \;{\varOmega }$ from the open unit disk D onto ${\varOmega }$ behaves as an $H^1$ function when we approach the arc $\varPhi ^{-1}(J')$, where $J'$ is any compact subarc of J.

Résumé

Nous démontrons que si un arc ouvert J de la frontière d’ un domaine de Jordan $\varOmega$ est rectifiable, alors la dérivée $\varPhi ^{\prime }$ de la fonction de Riemann $\varPhi$ entre le disque unité ouvert D sur $\varOmega$ se comporte comme une fonction de classe de Hardy $H^1$, quand on approche le sous-ensemble $\varPhi ^{-1}(J^{\prime })$ où $J^{\prime }$ est un sous-ensemble compact de J.