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Parmenides, the Founder of Abstract Geometry: Enriques Interpreter of the Eleatic Thought

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Abstract

The interpretation of Parmenides’ Περί Φύσεως is a fascinating topic to which philosophers, historians of philosophy and scientists have dedicated many studies along the history of Western thought. The aim of this paper is to present the reading of Parmenides’s work offered by Federigo Enriques. It is based on several original theses: (1) Parmenides was the discoverer of abstract geometry; (2) his critics was addressed against the Pythagoreans rather than against Heraclitus; (3) Parmenides discovered and applied the contradiction and the third excluded principles in the context of his research on foundation of geometry; (4) Parmenides’s metaphysical and physical conceptions have their bases in his speculation on geometry; (5) Parmenides used the principle of sufficient reason. Enriques’s reading is worth being expounded and discussed within the historical, philosophical and scientific context in which it is inserted. Since Enriques’s ideas are not widely known and discussed, my research has the purpose to fill this gap. The article also aims to provide elements to illustrate the discussion on Parmenides in the first half of the last century.

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Notes

  1. There is a rather extensive literature on these different aspects of Enriques’s production. With no claim to be exhaustive, I mention: Badaloni (1982) (an analysis of the relations between logic and philosophy of science in Enriques), Bettica-Giovannini (1989) (role of the history of science in Enriques’s thought); Bussotti (2006) (Enriques’s conception of geometry, of history of science and of epistemology); Bussotti 2008 (Ed., essays on Enriques as European intellectual); Bussotti-Pisano 2015 (an analysis of the influence of geometry on Enriques’s epistemology); Castellana (2019) (essays on Enriques’s epistemology); Enriques (2003) (re-edition of Enriques’s Insegnamento dinamico followed by two essays of Ghione and Moretti on the value of Enriques’s pedagogical doctrines); Enriques (1934, 2004) (re-edition of Enriques’s Il significato della storia del pensiero scientifico followed by several essays on Enriques’s conception of history and philosophy of science); Giacardi (2012) (Enriques’s pedagogical ideas and works and their influences on the teaching of mathematics in Italy); Israel (1992) (a comparison between Enriques’s and Poincaré’s conceptions of geometry and natural philosophy); Nastasi (2010) (a good intellectual biography of Enriques); Nurzia (1979) (Enriques and the intuitionistic mathematics); Parrini (1999) (Enriques’s epistemology); Polizzi (1982) (Enriques and the French epistemology between the 19th and the twentieth century), Polizzi (2008) (relations between Poincaré’s conception of geometry and some views expressed by Enriques in his Problemi della scienza); Pompeo Faracovi 1982 (Ed. A pioneering collective book on several aspects of Enriques’s thought); Pompeo Faracovi (1984) (2012 second edition. The role of Enriques within the Italian philosophical panorama. Polemics Croce-Enriques); Taglianini (1982) (Enriques’s gnoseology); Tomasi (1982) (Role of the educational question within Enriques’s thought); Toscano (2007) (Enriques’s interpretation of the relativity theory); Villaggio (2006) (Enriques’s views on the foundations of mechanics).

  2. Enriques (1936, pp. 200–201): “[…] gli idealisti affrontano lo studio delle dottrine eleatiche con un preconcetto, cioè che in esse debba esprimersi il motivo fondamentale della filosofia platonica; da interpretarsi poi nel senso hegeliano: l’antitesi dell’essere e del divenire, o del moto che ne è la negazione”. If not specified otherwise, all the translations into English are mine.

  3. Enriques (1919, p. 8): “Ma un esame approfondito di questi frammenti [di Parmenide], che qui non è il luogo di svolgere, conduce a riconoscere che le speculazioni dell’Eleate hanno principio nella veduta della geometria come scienza razionale. Attribuendo al punto-monade un’estensione—per quanto piccola—i pitagorici non si erano ancora sollevati sopra la concezione empirica degli enti geometrici (punti, linee, superficie); laddove Parmenide accenna a volere ritenere codesti enti come puramente razionali”.

    As it will be clear from his later works, the passages of Parmenides’s poem to which Enriques was referring are DK 28 B 4; DK 28 B 6; DK 28 B 2; DK 28 B 8 26–35.

  4. This passage is DK 28 B 4. I will deal with Enriques’s interpretation while analysing Enriques (1923) because, then, the outline of an idea will become a real interpretation of Parmenides’s thought and this passage will be the reference point of such interpretation.

  5. Enriques (1922a, p. 9): “Ora, mentre i pitagorici si affaticavano intorno a questa difficoltà, altri filosofi che del resto sono usciti dai medesimi circoli, iniziano la critica dei concetti geometrici, riconoscendo che un pensiero razionale, il quale voglia mantenersi immune da contraddizioni, deve riguardare il punto come privo di estensione, la linea come lunghezza senza larghezza, la superficie senza spessore, e di qui vengono naturalmente  condotti alle prime considerazioni infinitesimali. Questi critici razionalisti sono gli Eleati: Parmenide e il suo discepolo Zenone”.

  6. Tannery clearly stated: “For the Pythagoreans the point is the unit having a position, or the unit considered in space. This definition immediately implies that any geometrical body is a plurality of units, a sum of points, as the number is a plurality, a sum of units. This proposition is absolutely false. A body, a surface or a line are not a sum, a totality of juxtaposed points. From a mathematical perspective, the point is not a unit at all; it is a mere zero, a nothing in quantity”. (Tannery, 1887, 1930, pp. 258-259): “Pour les pythagoriens, le point est l’unité ayant une position, ou autrement l’unité considérée dans l’espace. Il suit immédiatement de cette définition que le corps géométrique est une pluralité, somme de points, de même que le nombre est une pluralité, somme d’unités. Or, une telle proposition est absolument fausse; un corps, une surface or une ligne, ne sont nullement une somme, une totalité des point juxtaposés; le point, mathématiquement parlant, n’est nullement une unité, c’est un pur zéro, un rien de quantité”. Italics in the text. It is to point out that Enriques wrote a laudatory Introduction to the second edition—published in 1930—of Tannery’s Pour l’histoire de la science hellène. The position of Tannery relies upon Proclus 95, 21-23 (Proclus, 1970, p. 78). In his Metaphyisics XIII 6 1080b16 f. and XIII 8 1083b8 f., Aristotle highlights how difficult is to conceive numbers not to be separated from things, but, at the same time as generators of things. See also, e.g., Marcacci (2012, p. 268). Besides, Marcacci (2012) points out that the connection between Pythagoras and the Pythagoreans and Parmenides is in the search for a broad formal principle that can justify all reality. The Pythagoreans point to number as that which can be referred to every entity as numerable. Instead, Parmenides chooses to refer to the being.

  7. Enriques 1923, p. 78: “[…] le figure geometriche non [sono] ancora [viste] come astratte da ogni materia, sibbene come forme di una materia universale, che si ritrova identica nelle materie sensibili qualitativamente diverse: poiché la dottrina pitagorica conduceva naturalmente a comprendere le differenze di qualità come differenze di numero e di posizione degli elementi costitutivi delle cose. Insomma, se il punto geometrico appariva come punto materiale, ad immagine del granellino di sabbia, già in qualche modo si sollevava sopra il concetto puramente empirico di questo.”

  8. For the interpretation of τὸ ἐὸν as “the Full” and τò μὴ ἐóν as “the Void”, the fundamental reference point is Tannery. He justified his interpretation on the basis of the fact that the milieu in which Parmenides wrote his poem was that of the Ionic philosophy, namely a natural philosophy, a physics. Therefore, there is no reason to think that Parmenides was creating a new metaphysics. He was working on science, not on metaphysics. Tannery wrote: “[…] it is only necessary to realize that Parmenides certainly lived in an entirely realistic milieu and that his language cannot be understood unless we replace the abstract terms he uses with the concepts of his epoch. Parmenides’s being is the extended substance and the object of the senses; it is the Cartesian matter. The not-being is the pure space, the absolute void, the extension elusive for the senses. With this [interpretative] key the entire poem becomes extremely clear. Without it, everything is obscure and incomprehensible”. (Tannery 1887, 1930, pp. 228–229): “[…] il est seulement nécessaire que nous nous rendions bien compte que Parménide vivait certainement dans un milieu entièrement réaliste et que son langage dès lors ne peut être compris que si l’on replace, sous les termes abstraits qu’il emploie, les concepts de l’époque. L’être de Parménide, c’est la substance étendue et objet des sens, c’est la matière cartésienne; le non-être, c’est l’espace pur, le vide absolu, l’étendue insaisissable aux sens. Avec cette clef, le poème tout entier devient d’une claret limpide; sans elle, tout reste obscur et incompréhensible”. Tannery recognised to have been inspired by Eduard Zeller (ibid., pp. 226–227). He was referring to the interpretation given by Zeller in his monumental work Zeller 1855–1868. In the chapter on Parmenides (ibid., pp. 225–254), Tannery developed the consequences of his ideas.

  9. This passage of the Peri physeos is reported by Clement of Alexandria, Stromata 5, 15; DK 28 B 4. Enriques (1923, pp. 80–81): “Le cose (sensibilmente) assenti contemplale tuttavia fermamente presenti alla ragione. Tu non separerai l’esistente (lo spazio) dalla connessione con l’esistente; né staccandolo da tutte le parti, del tutto regolarmente (come nel caso di una superficie chiusa che racchiude un solido) né congiungendolo (come fa una superficie separante due solidi contigui)”. It is to point out that Enriques-Mazziotti 1948, p. 27 offers a translation of the same passage which is only slightly different from that adopted in the paper I am analysing. I also refer to this translation: “Ciò che non cade sotto i tuoi sensi, contemplalo fermamente davanti alla ragione. Esso [la superficie] non separerà l’esistente [lo spazio] dalla connessione con l’esistente, né staccandolo da tutte le parti affatto regolarmente [come nel caso di una superficie chiusa che circoscrive uno spazio] né congiungendolo [come nel caso di due solidi contigui con una superficie comune”. The square brackets are interpolations and explanations by Enriques. Burnet’s translation—the one to which Enriques referred—is: “Look steadfastly with thy mind at things though afar as if they were at hand. Thou canst not cut off what is from holding fast to what is, neither scattering itself abroad in order nor coming together.” (Burnet 1920, p. 129). For the reader to compare Burnet’s English and Enriques’s Italian translations with a recent English one, I quote that offered by Laks and Most “See things, which remote though they are, are firmly present to thought (noos)./ For you [or: it] will not cut off what is from cohering with what is,/ Whether it is dispersed completely everywhere throughout the world/Or is collected together” (Laks-Most, V, 2, D10, pp. 52–53).

  10. Enriques (1923, p. 81): “Tradurre “l’esistente” come “spazio” per intendere poi che “le cose assenti” sieno la superficie”, può apparire invero un modo di procedure artificioso ed arbitrario, a chi supponga in Parmenide un puro metafisico, usante tutt’al più un linguaggio suggerito dalla geometria, e niente affatto un critico dei concetti geometrici”.

  11. Enriques did not mention such passage by Proclus, but, for reader’s convenience I think appropriate to report at least its translation (see Proclus 1970, p. 77, Commentary 94): “By denying parts to it, then, Euclid signifies to us that the point is the first principle of the entire subject under examination. Negative definitions are appropriate to first principles, as Parmenides teaches us in setting forth the first and ultimate cause by means of negations alone. For every first principle is constituted by a different essence from that of the things dependent on it, and to deny the latter makes evident to us the peculiar property of the principle. For that which is then cause, but not any one of the things of which it is the cause, becomes in a sense knowable through this method of exposition.”.

  12. Enriques (1923, pp. 81–82): “Bisogna che ciò che possa esser detto e pensato sia l’esistente: infatti, è possibile essere, e il niente non è possibile: queste cose io ti ordino di pensare. Io voglio tenerti lontano da questa prima via di ricerca (in cui si tiene come esistente il niente e il vuoto), ma poi anche da quest’altra in cui errano mortali ignoranti di tutto, uomini con due teste; la sconsideratezza nei loro petti guida la mente vacillante, ed essi sono portati sordi insieme e ciechi, istupiditi senza discernimento: essi ritengono che essere e non essere sia la stessa cosa. Di tutti (i primi e i secondi nominati) la via (egualmente) si ripiega sopra se stessa”. In the Diels-Kranz edition this is the fragment 28 B 6. Laks and Most offer the following translation: “It is necessary to say and to think that this is being; for it is possible that it is/While nothing is not: that is exactly what I bud you to meditate/ For such is the first road of investigation from which < I keep > you < away > ,/But then also from this one, which mortals who know nothing/Invent, two-headed/For the helplessness in their/Breast directs their wandering thought; and they are borne along,/Deaf and likewise blind, stupefied, tribes undecided [or: without judgement],/Who supposes that ‘this is and is not’ [or: that to be and not to be] us the same/ And not the same, and that of all things [or: for all] the path is backward-turning]” (Laks-Most, V, 2, D7, pp. 40–41).

  13. Bernays referred to the passage mentioned and translated by Enriques in Bernays 1850, note 1 (see Bernays 1885, I, contribution II, pp. 62–63).

  14. Calogero (1936, p. 150): “Non solo τὸ ἐὸν era non era un visibile e nemmeno un risultato o una totalità o una quintessenza del visibile, ma era addirittura la categorica negazione di ogni visibile Non apparteneva al mondo delle realtà vedute ma a quello delle realtà parlate, era una parola-realtà che avanzava la pretesa di sostituire senza eccezione l’universo delle realtà contemplabili” See also (Calogero, 1932).

  15. Enriques (1924, pp. 13–14): “Comunque noi crediamo di poter cogliere lo sviluppo della crisi e l’acquisto del vero concetto razionale degli enti geometrici (punto senza dimensioni, superficie senza spessore, ecc.) traverso la polemica della scuola d’Elea (Parmenide, Zenone) per l’ ‘unità’ e la continuità dell’esistente, cioè della materia estesa e dello spazio, e contro la ‘pluralità’ […]. E riteniamo che la stessa veduta metafisica degli Eleati—che sarà svolta poi, in senso formale, dai Megarici e da Platone—sorga precisamente sopra il terreno di codesta critica dei concetti naturalistici e matematici pitagorici; onde infine si afferma—fuori dell’idea metafisica o metamatematica—la nozione degli enti geometrici quali enti astratti, cioè matematici, nel senso che noi diamo a questa parola”. Italics in the text.

  16. Enriques-Mazziotti (1948, p. 28): “Si accenna così alla concezione tradizionale del punto senza estensione, non più “punta acuminata” (στιγμή), ma puro segno (σημεῖον) che i geometri debbono avere accolta in seguito alla polemica di Parmenide e di Zenone di Elea.”

  17. Tannery (1887, 1930, pp. 255–270). It is to point out that Owen in his paper “Zeno and the Mathematicians”, (see Owen, 1986b, pp. 45–61, original edition 1957–1958, pp. 199–222), argues against Tannery’s interpretation, according to which Zeno’s paradoxes are addressed against the Pythagoreans’ concept of point and of continuum. This interpretation plays an important role in Enriques’s reconstruction of Parmenides’s thought. Though Owen’s arguments are profound and well conceived, I do not think them to be completely convincing against Tannery’s interpretation, see (Bussotti 2021, note 25, pp. 155–156).

  18. Enriques (1923), p. 79: “Per noi il pensiero metafisico della scuola d’Elea si spiega soltanto in rapporto ad una critica di concetti matematici e naturalistici che deve essere veduta come prima di quella filosofica: il cui aspetto formale, in antitesi all’eraclitismo, fu svolto più tardi dai Megarici e dallo stesso Platone”. With regard to Parmenides’s logic, there is an abundant literature. Marcacci (2020) presents a very good explanation of the main views on this subject as well as exhaustive references to the literature.

  19. Enriques (1923, p. 83): “Invece il frammento dell’Eleate s’intende assai chiaramente come polemica contro le varie soluzioni che, nei circoli Pitagorici, potevano essersi affacciate nei riguardi del concetto di punto; il quale—essendo preso come elemento delle cose—doveva apparire, come si è detto, un bastardo infinitesimo attuale, che a sua volta si fa esistere o non esistere, secondo le esigenze del ragionamento. Insomma, se Parmenide ha enunciato per la prima volta il principio logico di contraddizione, soltanto la necessità di far giustizia di uno pseudo-ente logico può averlo condotto ad una tale enunciazione”.

  20. Enriques-De Santillana (1932, p. 114): “Di tal natura è il canone che si esprime col principio di contraddizione. Noi abbiamo visto come esso sia venuto alla luce nell’invettiva di Parmenide contro coloro per cui qualcosa può essere ad un tempo “lo stesso e non lo stesso”. Per rilevarne il valore occorreva dunque che il pensiero fosse indotto a fingere l’esistenza di alcunché dotato di proprietà incompatibili tra loro: e questo alcunché era il punto esteso, preso come elemento dello spazio, il bastardo infinitesimo attuale dei Pitagorici!” Italics in the text.

  21. The Parmenides’s passage mentioned by Enriques is DK 28 2. Enriques-De Santillana (1932, p. 99): “Il poeta ci apprende che si possono concepire soltanto due vie di ricerca, ‘Una che l’Esistente è, e quindi non può essere Niente; l’altra che non è, e così che debba esistere il Niente’. La prima è ‘la via della persuasione’, che segue la Verità; la seconda ‘non c’istruisce affatto, poiché tu non puoi conoscere né esprimere ciò che non esiste’”.

  22. Ibid., p. 100: “Egli ritiene che la verità sia da scoprire, non guardando alle cose, come sono fatte, ma riflettendo intorno all’idea che ne formiamo. Perciò la sua teoria della materia non è fondata, come avviene più o meno con gli Ionici, su delle analogie sensibili, ma sopra un concetto razionale della materia stessa: che si oppone alla veduta delle monadi.”.

  23. Ibid., p. 100: “Alla materia di Parmenide, che viene concepita come spazio solidificato, si lega naturalmente l’idea dell’impenetrabilità; per conseguenza appare anche impossibile dividerla, penetrando con qualche cosa a separarne le parti. Dice l’autore: ‘Non è divisibile poiché tutto è simile a se stesso. Non c’è in alcun luogo un più esistente che possa rompere la sua connessione, né un meno esistente; ma tutto è pieno dell’esistente’. Così tutto è perfettamente compatto: ‘l’esistente confina con l’esistente’”. Italics in the text. The Parmenides’s passage mentioned by Enriques is DK B 8 26-29.

  24. Ibid., p. 100: “Che cosa sarebbe il confine tra due parti continue dell’ ‘esistente’ o dello spazio? Sarebbe una superficie; ma questa non è un velo di piccolo spessore, bensì un ente ideale privo di spessore che non toglie il contatto tra gli spazi confinanti”. Italics in the text.

  25. Enriques (1922a, 1922b, pp, 120-121): “Parmenide riprende il problema elaborato dalla speculazione ionica e pitagorica. Il concetto monistico della materia venendo assunto come un dato, si tratta di riconoscere quali caratteri possano spettare a quel sostrato naturale unico che riceve forme e qualità differenti nelle varie manifestazioni fenomeniche. Ora che cosa rimane in una materia spogliata di tutti gli attributi per cui esiste in questa o quest’altra maniera? Parmenide va arditamente al termine dell’astrazione: le rimane, egli dice, solo ciò che di essa predichiamo affermando che ‘esiste’. Perciò definire il concetto astratto della materia, o ciò che è lo stesso per lui, scoprire la ‘natura’ identica che soggiace alla varietà delle specie particolari, significa dedurre logicamente quel che importa l’affermazione dell’esistenza di un oggetto, che la ragione possa pensare come tale. Fermiamoci un momento a illustrare il presupposto filosofico della ricerca. Parmenide è un razionalista, anzi il primo che abbia professato un razionalismo rigidamente coerente: egli non dubita che il criterio decisivo della realtà sia la concepibilità da parte della mente umana: ciò che è vero per natura deve anche essere pensabile senza contraddizione e ciò che si pensa deve pur corrispondere a qualcosa che esiste. Pertanto, l’Eleate riconoscerà come proprietà generali della materia (conformi alla sua natura) quelle proprietà dello spazio solidificato che ritroviamo nei postulati della geometria; e—del resto—abbiam pur detto che lo stesso spazio, da lui pensato come materiale, non si distingue dalla sostanza cosmica che lo riempie. Egli ammetterà dunque, in primo luogo, che la materia sia estesa e continua: la continuità risulta dall’impossibilità dell’esistenza del vuoto, che è—per definizione—il non ente; e porta d’altronde a refutare il concetto pitagorico del punto-monade, aprendo la via a una comprensione razionale degli enti geometrici. In secondo luogo, poiché l’esistenza non è suscettibile di gradi, in più o in meno, la materia estesa di Parmenide sempre identica a se stessa, apparirà dotata in modo assoluto di durezza o solidità, e però sempre impenetrabile e indivisibile.”.

  26. The adjective “metaphysics” might be used in this circumstance—which sometimes Enriques himself did –. However, for the moment, I prefer to avoid because, according to Enriques, Parmenides’s speculation concerned the physical world and not something like an ideal world separated from the physical one.

  27. Enriques 1930b, p. 286: “Parmenide adopera il PRS in una maniera assai più larga e caratteristica; esso diventa per lui criterio supremo d’un razionalismo rigido, che conduce il filosofo ai paradossi famosi dell’impossibilità del cambiamento e del moto”.

  28. Enriques 1921, p. 80: “Comunque, se la negazione del movimento fu effettivamente pronunziata da Parmenide, è—più che lecito—doveroso domandarsi quali sia esattamente il significato di una tale negazione nella mente del filosofo, onorato da tutta l’antichità, e se per avventura essa costituisca l’aspetto paradossale di una verità più profonda, in cui altri non riuscì a cogliere se non l’assurdo apparente. Rifiutare l’accettazione di un simile presupposto, sotto il pretesto che modi di pensare oggi assolutamente impossibili, debbano ammettersi come naturali o plausibili, nell’infanzia del pensiero umano, sarebbe rinunziare al solo criterio che ci è dato per ricostruire la storia della scienza antica, e—direi anche—la storia in generale […] ed evidentemente, nessuno […] pretenderà che il fenomeno del moto costituisca una scoperta moderna!”.

  29. Enriques (1921, p. 82): “[Ora esso è immobile nei limiti dei saldi legami…] Lo stesso e nello stesso rimanendo è in quiete rispetto a se stesso, e in tal guisa è anche immobile”. I have added the square brackets to the first part of the quotation because Enriques’s translation into Italian is referred to a previous line of Parmenides’s poem he did not report in Greek. The lacking passage is DK B 8 31, whereas that referred to by Enriques is DK B 8 34-35. Burnet’s translation: “[is immovable in the bonds of mighty chains …] It is the same, and it rests in the self-same place, abiding in itself. And thus it remaineth constant in its place”, (Burnet 1920, p. 130). Laks and Most translate like this: “[motionless within the limits of its great bonds…] Remaining the same and in the same it rests in itself/ And thus remains stable there” (Laks-Most, 2016, p. 47).

  30. Ibid., p. 82: “A nostro avviso, abbiamo qui la chiara spiegazione del concetto dell’autore: ‘il movimento del mondo non può essere definito in relazione a qualcosa fuori di esso, perché fuori del mondo (che è l’ente unico) non vi è nulla. E poiché, d’altronde, il mondo è in quiete relativamente a se stesso, in senso assoluto esso deve ritenersi immobile’”. Italics in the text.

  31. Ibid. p. 82: “Se, come noi crediamo, queste parole esprimono soltanto la traduzione in linguaggio moderno del pensiero parmenideo, la tesi della “negazione del moto” significa in realtà la “negazione del moto assoluto” e l’applicazione all’universo (ritenuto limitato) del concetto della relatività del moto.”.

  32. Enriques 1930b, p. 288: “Ebbene, proprio qui riconosciamo la profondità del pensiero di Parmenide. Chi mediti convenientemente il suo poema “sulla Natura” si accorge infatti che l’A.—se pure ha voluto tentare questa soluzione—è stato costretto a res**erla perché ha scoperto “la relatività di ogni moto”. Questo è infatti il senso vero della famosa “negazione del moto” che si tramanda nella storia come il più enorme dei paradossi eleatici”.

  33. Enriques-De Santillana 1932, p. 105: “[…quanto a questo tipo di conoscenza] non si tratta dunque di puri errori da confutare, ma piuttosto di una conoscenza di secondo piano, che rimane nello stadio empirico, perché non può accordarsi col principio razionale dell’unità della materia”.

  34. Enriques (1923, p. 79): “Per noi il pensiero metafisico della scuola d’Elea si spiega soltanto in rapporto a una critica dei concetti matematici e naturalistici che deve essere venuta prima di quella filosofica: il cui aspetto formale, in antitesi all’eraclitismo, fu svolto più tardi dai megarici e dallo stesso Platone. E il significato di anzidetta critica emerge da un confronto preciso delle polemiche eleatiche colle teorie che siamo stati portati ad attribuire ai filosofi loro vicini (Pitagorici), mentre ogni riferimento alla lontana scuola di Eraclito d’Efeso ci appare, per diversi motivi, non verosimile.” Italics in the text.

  35. Enriques (1934, p. 31): “Il filosofo troverà nella storia del pensiero scientifico, non soltanto i criterii per giudicare il valore della scienza, sì anche la spiegazione dell’ordine e del significato dei problemi della filosofia. Giacché nella storia della civiltà occidentale codesti problemi sorgono appunto sul terreno della ricerca naturalistica”.

  36. Ibid., p. 30: “Non pertanto, lo spirito religioso, scaldato al soffio della Verità eterna e delle eterne speranze degli uomini, è spesso—nella storia—generatore del più alto sforzo scientifico. Ciò si vede nella speculazione dei Pitagorici e degli Eleati, per cui le esigenze razionali stranamente confuse col misticismo, assumono un valore che sfida, nei più arditi paradossi, le apparenze sensibili”.

  37. See e.g., Enriques (1921, pp. 83–88), Enriques (1923, pp. 83–86), Enriques (1924, pp. 16–17), Enriques-De Santillana (1932, pp. 108–112). See also Bussotti (2016, pp. 81–82).

  38. Enriques-Mazziotti 1948, pp. 28–31. In the following pages (ibidem, pp. 31–34), Enriques tried to refute (Frank’s 1923) thesis according to which the Pythagorean thought does not have significant connections with science and geometry. If this were true, the whole edifice constructed by Enriques on the interpretation of Parmenides would collapse.

  39. Enriques (1922a, 1922b, pp. 16-17): “Il parallelismo che gli Eleati avevano scorto tra il pensiero e l’essere, e che i sofisti (avversari e precursori) avevano interpretato nel senso di proiettare nella realtà l’arbitrio che è proprio della libera critica, riceve, nella dottrina socratico-platonica, una interpretazione inversa: infatti la teoria ontologica delle idee, suppone un ordine assoluto di verità che stanno di fronte al pensiero come dati, sopra cui esso ha da modellare l’ordine della propria scienza. Così dunque Platone vede nella classificazione delle forme geometriche un modello della gerarchia delle specie naturali, la quale si rispecchia in quel procedimento più generale di divisione e di definizione che costituisce la dialettica. Ed analogamente per Aristotele, il rapporto necessario ed irreversibile tra cause ed effetti, offerto dalla natura, si riflette nel rapporto tra premesse e conseguenze della scienza dimostrativa; la quale perciò possiede un ordine naturale che non può essere invertito, onde i suoi principi appariscono assolutamente indimostrabili”. Italics in the text.

  40. On the problem of the movement in Descartes I refer to Bussotti-Lotti 2018, where an abundant bibliography is also present.

  41. See, e.g., Enriques (1921, p. 91) and for a more general and profound treatment the whole Enriques-Mazziotti (1948).

  42. See, e.g., Nastasi (2010, p. 221).

  43. An analysis of how well known Enriques’s ideas on Parmenides have been among philosophers, historians of philosophy/science/mathematics could be the subject of a further paper. I only refer to some of the most modern authors who analyse some aspects of his interpretation. Among the historians of Greek philosophy, Gambetti (2013) claims that Enriques’s interpretation of Parmenides expounded in 1921, though dated, is interesting since it offers a scientific reading of the Eleatism (Gambetti 2013, p. 61). Cerri et al. 2018 is a significant text in our context: it presents a series of lectures addressed by the important Italian historian of ancient Greek philosophy Giovanni Cerri at the Fondazione Alario per Elea-Velia. After Cerri’s lectures a discussion with the participants is reported. A noteworthy debate occurred between Francesca Gambetti and Giovanni Cerri. In this context Gambetti mentioned and commented on Enriques (1921). In his answer to Gambetti, Cerri claimed to accept Enriques’s conceptions and admitted not to know them (Cerri 2018, p. 231). Mourelatos and Pulpito, in their valuable paper on the principle of sufficient reason in Parmenides point out that Enriques (1930a, 1930b) is the first and fundamental reference point to detect the origin of this principle in Parmenides (Mourelatos-Pulpito, 2018, p. 122). Among the historians of philosophy/science/mathematics I recall that Maracchia (1980) refers to Enriques’s interpretation of Zeno’s paradoxes (pp. 208–210) and enters into many interesting details as regards the light his interpretation can spread on the paradoxes. Maracchia shares Enriques’s train of thoughts. Interesting insights on Enriques’s reading of Parmenides’s thought exist in the valuable Galuzzi (1984, 1998). They only concern a few aspects of the Enriques’s exegesis, in which the author is interested. Galuzzi tries to offer a synthesis of the reasons behind Enriques’s views. Bolondi (1998) refers to several observations dedicated to the Enriques’s entries of the Enciclopedia Italiana concerning Greek thought. Pompeo Faracovi (2004) is valuable as a general introduction on Enriques’s views of Greek philosophy and science. However, the author does not enter into many nuances because this was not her aim. Enrico Giannetto refers to Enriques (1921) claiming that the Italian mathematician recognised in Parmenides a first conception of the relativity of motion (Giannetto, 2005, p. 54). He also discusses Enriques’s idea according to which Democritus can be thought of as the inventor of the inertia principle (ibid., p. 60). In 2007 Giorgio Israel briefly refers to Enriques’s idea that Parmenides created rational geometry (Israel, 2007, p. 18). In the profound contribution (Toscano, 2007), the author analyses (Enriques, 1921) for the importance this contribution had as to the interpretation offered by Enriques of Einstein’s relativity theory. In the interesting (Maiocchi, 2014), the author claims that Enriques’s conception of the relativity of motion in Parmenides led him to consider Parmenides the beginner of science, to devise a line of continuity in the whole mechanics and, in particular, a connection between Einstein and Parmenides. He judges this connection extrinsic. Maiocchi observes that, according to Enriques, the PSR is the mental aspect of the causality principle. Raffaele Pisano and I have addressed the content of Enriques (1923) in our paper Bussotti-Pisano 2015 in relation to its meaning within the context of Enriques’s gnoseology.

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I express my gratitude to Franco Giudice and to Brunello Lotti for their precious suggestions with regard to the structure of this paper. I am grateful to Martina Zamparo for the linguistic revision. Of course, every possible mistake rests entirely upon me.

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  1. Dipartimento di Studi Umanistici e del Patrimonio Culturale (DIUM), Università di Udine, Udine, Italy

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Bussotti, P. Parmenides, the Founder of Abstract Geometry: Enriques Interpreter of the Eleatic Thought. Found Sci 28, 947–975 (2023). https://doi.org/10.1007/s10699-022-09854-0

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