On dirac-like equations in 2n-dimensional spaces.—I

Summary

It is shown that the spinor field equation$\gamma _a \frac{\partial }{{\partial x_a }}\psi \left( x \right) = 0$, a=1, 2, ..., 2n, inE ₂ n is both covariant for the inhomogeneous orthogonal group of transformationsIO ₂ n and for the groupSO ₂ n+1,1 inE ₂ n+1,1 (or the conformal group of transformations inE ₂ n); the former covariance is named a «natural» covariance, since {ψ(x)} is a carrier space for a faithful, irreducible representation of the groupO ₂ n for allx, but the latter one (or conformal) is only a «restricted» covariance, since {ψ(x)} may not be a carrier space for a faithful representation of the group; in fact, forx=0 onlySO _2n andSO _1,1 (dilatations) may be nontrivially represented. This restricted covariance is manifested by a theorem which establishes the equivalence (existence of reversible transformations) of the equation above, inE _2n , with the system of equations$\Gamma _A \eta ^A \Gamma _B \frac{\partial }{{\partial \eta _B }}\left( {\Gamma _{2n + 1} + \Gamma _{2n + 2} } \right)\xi \left( \eta \right) = 0$, Γ_Aη^Aξ(η)=0,A, B=1, 2, ..., 2n, 2n+1,2n+2, inE _2n+1,1. As an example theIO ₂ naturally covariant spinor field equation in the Euclidean plane (y ₁,y ₂)$\left( {\sigma _1 \frac{\partial }{{\partial y_1 }} + \sigma _2 \frac{\partial }{{\partial y_2 }}} \right)\varphi \left( y \right) = 0$ is shown to be alsoSO _3,1 or Lorentz covariant (but restricted covariant) and, according to the above-mentioned theorem, equivalent to the system of equations$\gamma _\mu x^\mu \gamma _v \frac{\partial }{{\partial x_v }}\left( {\gamma _0 + \gamma _8 } \right)\psi \left( {x = 0} \right)$,x _μγ^μψ(x)=0, μ,v=0, 1, 2, 3, in Minkowski spaceM ^3,1 and the two-component spinor field ψ(y) above is obtained from$\frac{1}{2}\left( {1 + \gamma _0 \gamma _8 } \right)\psi \left( x \right)$ and consequently isnot a Weyl spinor field. In a parallel way the massless Dirac equation$\gamma _\mu \frac{\partial }{{\partial x_\mu }}\psi \left( x \right) = 0$, naturally Poincaré covariant in Minkowski spaceM ^3,1, equivalent to the system$\Gamma _a \eta ^a \Gamma _b \frac{\partial }{{\partial \eta _b }}\left( {\Gamma _5 + \Gamma _6 } \right)\xi \left( \eta \right) = 0$, Γ_aη^aξ(η)=0,a, b=0, 1, 2, 3, 5, 6, inM ^4,2, is only «restricted» covariant for the conformal group or forSO _4,2 (alternatively the Weyl equation is equivalent to the system above in which the spinor field ξ is substituted by a$\frac{1}{2}\left( {1 \pm \Gamma _7 } \right)\xi$semi-spinor or twistor field). For the study of «natural» conformal covariance of spinor fields the equation$\Gamma _a \frac{\partial }{{\partial \eta _a }}\xi \left( \eta \right) = 0$,a=0, 1, 2, 3, 5, 6, is proposed and studied in the second (forthcoming) part of this work.

Riassunto

Si mostra come l’equazione di campo spinoriale$\gamma _a \frac{\partial }{{\partial x_a }}\psi \left( x \right) = 0$, a=1, 2, ..., 2n, inE ₂ n sia covariante tanto rispetto al gruppo di trasformazioni ortogonale inomogeneoIO ₂ n, quanto rispetto al gruppoSO _2n+1,1 inE _2n+1,1 (ovvero rispetto al gruppo conforme di trasformazioni inE ₂ n); la prima covarianza è chiamata covarianza «naturale», poiché {ψ(x)} è uno spazio di supporto per una rappresentazione fedele ed irriducibile del gruppoO ₂ n per tutte lex, ma la seconda (o conforme) è solamente una covarianza «ristretta», poiché {ψ(x)} non può essere uno spazio di supporto per una rappresentazione fedele del gruppo; infatti perx=0 soloSO ₂ n edSO _1,1 (dilatazioni) possono essere rappresentati non banalmente. Questa covarianza ristretta è resa manifesta da un teorema che stabilisce l’equivalenza (esistenza di trasformazioni invertibili) dell’equazione scritta sopra, inE ₂ n, con il sistema di equazioni$\Gamma _A \eta ^A \Gamma _B \frac{\partial }{{\partial \eta _B }}\left( {\Gamma _{2n + 1} + \Gamma _{2n + 2} } \right)\xi \left( \eta \right) = 0$, Γ_Aη^Aξ(η)=0,A, B=1, 2, ..., 2n, 2n+1,2n+2, inE _2n+1,1. Come esempio si mostra come l’equazione di campo spinorialeIO ₂ naturalmente covariante nel piano euclideo (y ₁,y ₂)$\left( {\sigma _1 \frac{\partial }{{\partial y_1 }} + \sigma _2 \frac{\partial }{{\partial y_2 }}} \right)\varphi \left( y \right) = 0$ sia ancheSO _3,1 e Lorentz covariante (ma covariante ristretta) e, secondo il teorema summenzionato, come sia equivalente al sistema di equazioni$\gamma _\mu x^\mu \gamma _v \frac{\partial }{{\partial x_v }}\left( {\gamma _0 + \gamma _8 } \right)\psi \left( {x = 0} \right)$,x _μγ^μψ(x)=0, μ,v=0, 1, 2, 3, nello spazio di MinkowskiM ^3,1, e come il campo spinoriale a due componenti ψ(y) sia ottenuto da$\frac{1}{2}\left( {1 + \gamma _0 \gamma _8 } \right)\psi \left( x \right)$ e di conseguenza comenon sia un campo spinoriale di Weyl. Parallelamente l’equazione di Dirac senza massa$\gamma _\mu \frac{\partial }{{\partial x_\mu }}\psi \left( x \right) = 0$ naturalmente Poincaré covariante nello spazio di MinkowskiM ^3,1, equivalente al sistema$\Gamma _a \eta ^a \Gamma _b \frac{\partial }{{\partial \eta _b }}\left( {\Gamma _5 + \Gamma _6 } \right)\xi \left( \eta \right) = 0$, Γ_aη^aξ(η)=0,a, b=0, 1, 2, 3, 5, 6, inM ^4,2, è solo covariante «ristretta» rispetto al gruppo conforme o rispetto aSO _4,2 (alternativamente l’equazione di Weyl è equivalente al sistema di sopra, dove il campo spinoriale ξ è sostituito da un campo semispinore o twistor$\frac{1}{2}\left( {1 \pm \Gamma _7 } \right)\xi$. Per lo studio della covarianza conforme «naturale» dei campi spinoriali si propone l'equazione$\Gamma _a \frac{\partial }{{\partial \eta _a }}\xi \left( \eta \right) = 0$,a=0, 1, 2, 3, 5, 6, e la si studia nella seconda (successiva) parte di questo lavoro.

Резюме

Показывается, что спинорное уравнение поля$\gamma _a \frac{\partial }{{\partial x_a }}\psi \left( x \right) = 0$, a=1, 2, ..., 2n, вE ₂ n является ковариантным для неоднородной ортогональной группы преобразованийIO ₂ n и для группыSO _2n+1,1 вE _2n+1,1 (или конформной группы преобразований вE ₂ n); в первом случае ковариантность называется «естественной» ковариантностью, так как {ψ(x)} есть пространство для точного, неприводимого представления группыO ₂ n для всехx, а во втором случае ковариантность является «ограниченной», так каи {ψ(x)} может не быть пространством для точного представления группы, действительно, дляx=0 толькоSO ₂ n иSO _1,1 (расширения) могут быть представлены нетривиальным образом. Эта ограниченная ковариантность иллюстрируется в явном виде с помощью теоремы, которая устанавливает эквивалентность (существование обратимых преобразований) вышеуказанного уравнения, вE ₂ n, и системы уравнений$\Gamma _A \eta ^A \Gamma _B \frac{\partial }{{\partial \eta _B }}\left( {\Gamma _{2n + 1} + \Gamma _{2n + 2} } \right)\xi \left( \eta \right) = 0$, Γ_Aη^Aξ(η)=0,A, B=1, 2, ..., 2n, 2n+1,2n+2, вE _2n+1,1. Как пример, показывается, чтоIO ₂-естественно ковариантное спинорное уравнение поля в эвклидовой плоскости (y ₁,y ₂):$\left( {\sigma _1 \frac{\partial }{{\partial y_1 }} + \sigma _2 \frac{\partial }{{\partial y_2 }}} \right)\varphi \left( y \right) = 0$ является такжеSO _3,1 или Лоренц-ковариантным (но ограниченно ковариантным) и, согласно вышеуказанной теореме, является эквивалентным системе уравнений$\gamma _\mu x^\mu \gamma _v \frac{\partial }{{\partial x_v }}\left( {\gamma _0 + \gamma _8 } \right)\psi \left( {x = 0} \right)$,x _μγ^μψ(x)=0, μ,v=0, 1, 2, 3, в пространстве МинковскогоM ^3,1. Получается двух-компонентное спинорное поле$\frac{1}{2}\left( {1 + \gamma _0 \gamma _8 } \right)\psi \left( x \right)$, которое не является, следовательно, спинорным полем Вейля. Аналогично безмассовое уравнение Дирака$\gamma _\mu \frac{\partial }{{\partial x_\mu }}\psi \left( x \right) = 0$ естественно—Пуанкаре-ковариантное в пространстве МинковскогоM ^3,1, эквивалентное системе уравнений$\Gamma _a \eta ^a \Gamma _b \frac{\partial }{{\partial \eta _b }}\left( {\Gamma _5 + \Gamma _6 } \right)\xi \left( \eta \right) = 0$, Γ_aη^aξ(η)=0,a, b=0, 1, 2, 3, 5, 6, вM ^4,2 является лишь «ограниченно» ковариантным для конформной группы или дляSO _4,2 (альтернативно, уравнение Вейля является эквивалентным вышеуказанной системе, где спинорное поле заменяется полуспинорным полем или полем кручения$\frac{1}{2}\left( {1 \pm \Gamma _7 } \right)\xi$. Для исследования «естественной» конформной ковариантности спинорных полей предлагается уравнение:$\Gamma _a \frac{\partial }{{\partial \eta _a }}\xi \left( \eta \right) = 0$,a=0, 1, 2, 3, 5, 6, которое изучается во второй (следующей) части этой работы.